مبادئ التحليل اإلحصائي إعداد د/ فؤاد عبدهللا العواد

Transcript

1 مبادئ التحليل اإلحصائي إعداد د/ فؤاد عبدهللا العواد 05

2 محتويات المقرر - األسلوب اإلحصائي - العرض الجدولية للبيانات 3- العرض البياني للبيانات 4- مقاييس النزعة المركزية 5- مقاييس التشتت 6 -االحتماالت. 7 -التوزيع الطبيعي 8- توزيعات المعاينة 9- إنشاء فترات الثقة للوسط للنسبة للفرق بين نسبتين للفرق بين وسطين 0 -اختبار الفروض للوسط للنسبة للفرق بين نسبتين للفرق بين وسطين -اختبار تجانس التباين - تحليل التباين 3- تحليل االرتباط واالنحدار الخطي 4- اختبار االستقالل )مربع كاي( 5- التحليل العاملي 6- تحليل السالسل الزمنية 7- األرقام القياسية 8- تمارين عامه

3 -األسلوب اإلحصائي تعريف اإلحصاء :Statistics هو مجموعه من الطرق العلمية لجمع وتبويب وعرض وتحليل البيانات عن الظواهر المختلفة بهدف اتخاذ القرارات المناسبة. عناصر التعريف: مجموعة من الطرق العلمية لجمع البيانات وعرضها وتحليلها التخاذ القرارات المناسبة أهمية اإلحصاء في اإلدارة: أن النمو في استخدامات علم اإلحصاء ساعد في إدخال تغييرات جذرية في العملية اإلنتاجية واإلدارة على مستوى التخطيط لها وتطويرها وقياس النوعية, ومعالجة المشاكل. واصبحت األداة التي ال غني عنها في مجال البحث وتفسير الظواهر وبناء التوقعات المستقبلية واتخاذ القرارات. ينقسم اإلحصاء إلى قسمين أساسيين هما اإلحصاء الوصفي Descriptive Statistics واإلحصاء االستداللي. Iferetial Statistics اإلحصاء الوصفي يهتم بطرق تلخيص وعرض البيانات في صور جداول أو رسوم بيانية أو حساب بعض المقاييس اإلحصائية. اإلحصاء االستداللي يهتم بطرق تحليل وتفسير واستخالص االستنتاجات باالعتماد على جزء ( أو العينة( من المجتمع للتوصل إلى قرارات تخص مجموع المجتمع اإلحصائي. المجتمع اإلحصائي Populatio هو جميع المفردات محل الدراسة. )محدود, وغير محدود( العينة اإلحصائية Sample هو جزء من المجتمع اإلحصائي يسحب بطريقة معينة ويتم علية الدراسة. جمع البيانات اإلحصائية: البيانات هي مجموعة المشاهدات أو المالحظات المأخوذة أثناء دارسة معينة. أنواع البيانات اإلحصائية: - البيانات الكمية Quatitative Data 3

4 وهي التي تعبر بشكل رقمي عن ظاهر معينة. مثل الطول ودرجات الحرارة وعدد أفراد اآلسرة. وهذا النوع ينقسم بدورة الى قسمين: البيانات الكمية المتصلة وهي التي تأخذ قيما رقمية في فترة مهما صغر طولها. مثال ذلك الوزن والطول. والبيانات الكمية المتقطعة وهي التي تأخذ قيما رقمية بحيث تنتقل من أي قيمة الى القيمة التالية لها مباشرة دون المرور على ما بينها من القيم. مثال ذلك عدد حوادث السيارات. البيانات الوصفية )أو النوعية( Qualitative وهي التي تقيس صفة ما وال تأخذ الشكل الرقمي. وتنقسم هذه البيانات بدورها الى قسمين البيانات الترتيبية Ordial والبيانات غير الترتيبية. Nomial البيانات الترتيبية وهي التي تستخدم في التصنيف والترتيب معا. مثال ذلك تقدير الطالب البيانات غير الترتيبية وهي التي ليس لها ترتيب معين. مثال ذلك الجنس )ذكر أو أنثي( والحالة االجتماعية )أعزب, متزوج, مطلق, أرمل(. - مصادر البيانات اإلحصائية هناك مصدران لجمع البيانات هي: - المصادر التاريخية وهي بيانات تم جمعها قبل البدء في البحث ألغراض أخرى. مثال ذلك سجالت المواليد والوفيات. ويجب مراعاة اآلتي عند استخدام المصادر التاريخية: اإللمام بجميع التعاريف مراجعة االستمارات التأكد من تمثيل العينة للمجتمع التأكد من مستوى جامعي البيانات التأكد من منطقية البيانات واتساقها مع بعضها البعض ويساعد استخدام هذه المصادر في توفير الوقت والجهد والتكاليف. - المصادر الميدانية عندما ال يجد الباحث مبتغاة في المصادر التاريخية )إما لنقص أو عيب في البيانات التاريخية( يتجه لجمع البيانات بنفسه من الميدان. وتجمع البيانات من المصادر الميدانية بعدة طرق منها: المقابلة الشخصية ( المراسلة )البريد( ( الهاتف 3( المراسلة االلكترونية )البريد االلكتروني( 4( االستبانة االلكترونية 5( أساليب جمع البيانات الميدانية: 4

5 يتم جمع البيانات بأحد األسلوبين التاليين: أ- الحصر الشامل وفية يتم دارسة جميع مفردات المجتمع محل الدراسة, ولكنة غير شائع مثل اإلحصاء السكاني. من مزايا هذا األسلوب أنه يعطي صورة كاملة عن مجتمع الدارسة. ومن عيوبه, تكاليفه الباهظة, وطول الوقت الالزم الجرائه, وقد يتعذر استخدامه في بعض الحاالت حيث يؤدى إلى هالك بعض أو كل المفردات )مثال عينة الدم(. ب- المعاينة اإلحصائية يتم اختيار جزء صغير من وحدات المجتمع واجراء الدراسة علية. مزايا هذه األسلوب: - اقل تكلفة - اقل جهد 3- اقل وقت ويالحظ أن اختيار العينة بطريقة غير مناسبة, يعني أن العينة ال تمثل المجتمع المسحوبة منه تمثيال صادقا مثل التعرف على متوسط دخل األسرة في مدينة الرياض بدراسة دخل مجموعة أسر من أحد األحياء الشعبية فيها, فمثل هذا الخطأ يؤدي إلى عدم سالمة النتائج, وبالتالي خطأ القرارات التي تعتمد عليها. أنواع العينات: نتبع عدة طرق لسحب العينات من مجتمع الدراسة وذلك حسب طبيعة المجتمع ونوعية الدراسة. ومن أهم أنواع العينات: العينة العشوائية البسيطة وهي من ابسط أنواع العينات وتستخدم عندما يكون مجتمع الدراسة متجانسا فيما يتعلق بالعوامل التي تؤثر في الدارسة. العينة العشوائية الطبقية عندما يكون مجتمع الدراسة غير متجانس بالنسبة لبعض العوامل المؤثرة في الدراسة فإننا نتجه إلى تقسيم المجتمع إلى مجموعات أو طبقات متجانسة داخليا بالنسبة لهذه العوامل ويتم معاملة كل مجموعة كما لو كانت مجتمعا بذاتها ويختار الباحث عشوائيا منها عينة بسيطة. العينة العشوائية متعددة المراحل يتم تحديد مفردات العينة النهائية على مراحل. مثال ذلك دراسة متوسط الدخل لألسر في مدينة الرياض, أوال يتم سحب عينة من األحياء في مدينة الرياض, ثانيا يتم اختيار عينة من الشوارع في األحياء التي تم اختيارها في الخطوة السابقة, ثالثا اختيار عينة من المنازل من الشوارع التي تم اختيارها في الخطوة السابقة

6 - العرض الجدولي للبيانات: بعد جمع البيانات فأنها تكون في صورة غير معبرة, وقد يصعب دراستها أو استنتاج أي شئ منها. ولذلك فيجب ترتيبها وتصنيفها في شكل جدول لتسهل تفسيرها وتحليلها. غالبا ما تتم هذه الخطوة باستخدام الحاسب وخصوصا إذا كانت البيانات كبيرة الحجم, أما إذا كانت البيانات صغيرة الحجم )عددها بسيطا( فالتبويب يتم يدويا وفيما يلي سنتناول بالشرح طرق التبويب اليدوي. أوال : تبويب البيانات الوصفية ثانيا : تبويب البيانات الكمية المتقطعة ( ذات المدى الصغير نسبيا( ثالثا : تبويب البيانات الكمية المستمرة )المتصلة( أوال : تبويب البيانات الوصفية تلخص هذه البيانات في جدول يسمي جدول تفريغ البيانات اإلحصائية وهو يتكون من ثالث خانات. الخانة األولى أو العمود األول تكتب فيه جميع الصفات التي تأخذها البيانات الوصفية )مثل الحالة االجتماعية تأخذ الصفات التالية أعزب, متزوج, مطلق, أرمل(. في الخانة الثانية توضح العالمات وهي عبارة عن حزم كل حزمة مكونة من خمسة خطوط, أربعة رأسية والخامس مائل. أما في الخانة الثالثة فتوضح مجموع العالمات أمام كل صفة ويسمي التكرار. مثال: اآلتي بيانات 5 عامال في إحدى المصانع حسب الحالة االجتماعية والمطلوب وضع هذه البيانات في جدول تكراري: أعزب متزوج أرمل أعزب متزوج أعزب متزوج أعزب متزوج أرمل أعزب متزوج أرمل متزوج متزوج متزوج أرمل متزوج مطلق أعزب متزوج أرمل متزوج مطلق أرمل الحل أوال يتم حصر جميع الصفات التي تأخذها البيانات وهي أعزب متزوج مطلق أرمل ومن ثم توضع في جدول تكراري: الصفة أعزب متزوج مطلق أرمل المجموع العالمات اااا ا اااا اااا ا اا اااا ا التكرار )عدد العمال(

7 يمكن أن يحتوي الجدول على أكثر من متغير أو بيان التكراري المزدوج. واحد ويعرف هذه الحالة بالجدول مثال: البيانات التالية تمثل عينة من العاملين في إحدى الشركات موزعة حسب الحالة االجتماعية والجنس والمطلوب وضعها في جدول تكراري مناسب. متزوج وأنثي مطلق وذكر مطلق وأنثي أعزب وذكر مطلق وأنثي أرمل وذكر أرمل وذكر أعزب وأنثي متزوج وذكر الحل متزوج وذكر متزوج وذكر متزوج وأنثي أعزب وأنثي أرمل وأنثي أعزب وذكر الجنس الحالة االجتماعية أعزب متزوج مطلق أرمل المجموع ذكر 3 8 أنثي 7 التكرار ثانيا : تبويب البيانات الكمية المتقطعة ( ذات المدى الصغير نسبيا( 7 3 تلخص البيانات الكمية وذات المدى الصغير نسبيا مثل ما تم في البيانات الوصفية. مثال: البيانات التالية تمثل حجم األسرة لمجموعة من األشخاص: الحل التكرار العالمات عدد أفراد األسرة 4 اااا 6 اااا ا 3 5 اااا 4 4 اااا 5 اا 6 ا 7 المجموع ثالثا : تبويب البيانات الكمية المستمرة )المتصلة( 7

8 في هذه الحالة تقسم البيانات إلى فئات, وتفرغ البيانات على الفئات لنحصل على تكرار لكل فئة. ونلخص تكوين جدول تكراري لهذا النوع من البيانات عن طريق حل المثال التالي. مثال: البيانات التالية تمثل األجر اليومي بالريال السعودي لعينة تتكون من خمسين عامال من غير المؤهلين في إحدى المؤسسات الخاصة: والمطلوب تكوين جدوال تكراريا لألجر اليومي. الحل يتكون الجدول التكراري في هذه الحالة من ثالث خانات الخانة األولى تمثل فئات األجور والخانة الثانية العالمات والخانة الثالثة تمثل التكرار )عدد العمال(. وفيما يلي خطوات تكوين إنشاء الجدول. ( نحسب المدى للبيانات R وهو عبارة عن الفرق بين أكبر قراء ة وأصغر قراءة للبيانات أي أن: R = M - m R= 54-5 = 9 ( نحسب طول الفئة باستخدام المعادلة التالية: M m L 3.3log L 3.3log 50 (3.3)(.698) إذا طول الفئة 5 رياالت. نحدد عدد الفئات بشكل تقريبي باستخدام العالقة التالية: R K L 9 K عدد الفئات ستة. يختار أصغر قراءة في البيانات بداية للفئة األولى وفي مثالنا يكون بداية الفئة األولى 5 وتسمي بالحد األدنى للفئة األولى, ثم يضاف إليها طول الفئة حتى نحصل على الحد األعلى للفئة األولى والذي يعتبر الحد األدنى للفئة الثانية وهكذا بالنسبة لبقية الفئات األخرى. الحظ أن القراءات التي تساوي الحد األعلى ألي فئة ال تحسب ضمن تكرارات هذه الفئة وإنما لتكرارات الفئة التي تليها. فئات األجر العالمات اااا اااا ااا اااا اااا التكرار )عدد العمال( )3 )4 8

9 اااا اااا ااا اااا ااا اااا ا المجموع الجداول التكرارية المتجمعة قد يكون المطلوب أحيانا معرفة عدد القراءات التي تكون أصغر من مقدارا معينا أو التي تساوي أو تزيد عن قيمة معينة أخرى. في الحالة األولى نستخدم الجدول المتجمع الصاعد وفي الحالة الثانية نستخدم الجدول المتجمع الهابط. الجدول التكراري المتجمع الصاعد يعاد كتابة الفئات على صورة أقل من الحد األعلى للفئة وتجميع التكرارات من أعلى إلى أسفل. مثال: الجدول التالي يوضح توزيع األجر اليومي لخمسين عامال: فئات األجر المجموع التكرار )عدد العمال( والمطلوب إنشاء جدول التكرار المتجمع الصاعد ومن ثم إيجاد عدد العمال الذين يتقاضون أقل من 40 رياال. الحل حدود الفئات أقل من 30 أقل من 35 أقل من 40 أقل من 45 أقل من 50 أقل من 55 التكرار المتجمع الصاعد عدد العمال الذين يتقاضون أقل من 40 رياال يساوي 3 عامال. أ- الجدول التكراري المتجمع الهابط 9

10 تكتب الفئات في صورة الحد األدنىى فىأكثر ونحسىب التكىرارات المتجمعىة بجمىع التكرارات األصلية من أسفل إلى أعلى. مثال: في المثال السابق ا نشاء الجدول التكىراري المتجمىع الهىابط ثىم أوجىد عىدد العمال الذين يتقاضون 45 رياال فأكثر. الحل حدود الفئات 5 فأكثر 30 فأكثر 35 فأكثر 40 فأكثر 45 فأكثر 50 فأكثر التكرار المتجمع الهابط عدد الذين يتقاضون 45 رياال فأكثر يساوي 4 عامال. مثال: الجدول التالي يوضح توزيع األجر اليومي لخمسين عامال: فئات األجر المجموع التكرار )عدد العمال( والمطلوب إنشاء جدول تكراري نسبي. الحل التكرار األصلي التكرار النسبي = مجموع التكرارات فئات األجر التكرار )عدد العمال( التكرار النسبي )نسبة العمال(

11 المجموع 3 -العرض البياني للبيانات بعد عرض البيانات في جداول قد يكون من المناسب في كثير من األحيان عرض هذه البيانات بأسلوب بسيط باستخدام الرسوم واإلشكال البيانية بهدف التبسيط والتسهيل على القارئ وجذب انتباهه, السيما إذا كانت اإلشكال البيانية معروضة بشكل جذاب وتستخدم األلوان المختلف. ويمكن إن يساعد العرض البياني على إظهار خصائص البيانات وتطورها وما فيها من عالقات مختلفة. كما قد يساعد في تحديد انسب تحليل إحصائي. أهمية استخدام العرض البياني: - توضيح الظاهر محل الدراسة. - سهولة تفهمها من جانب غير المختصين. 3- سرعة إظهار التغير في الظواهر المختلفة. 4- يمكن استخدامها إلجراء المقارنات بين الظواهر. يجب مراعاة األتي عند استخدام العرض البياني: - أن يكون الشكل المختار مناسبا لطبيعة البيانات. - اختيار وحدات القياس )تحديد مقياس الرسم(. 3- اختيار عنوان مختصر للرسم. 4- مراعاة الناحية الجمالية )األلوان(. 5- تحديد مصدر البيانات بوضوح ودقة أسفل الرسم. 6- تحديد معاني بعض اإلشكال واأللوان المستخدمة. سوف نتطرق إلى أهم طرق العرض البياني منها: - الرسوم البيانية: والتي تنقسم بدورها إلى عدة طرق منها: أ- األعمدة البيانية ب- الخط البياني ت- الرسوم الدائرية - التمثيل البياني للتوزيعات التكرارية أ- المدرج التكراري ب- المضلع التكراري ت- المنحني التكراري ث- المنحني المتجمع الصاعد ج- المنحني المتجمع الهابط - الرسوم البيانية:

12 عدد العمال هناك بعض الجداول اإلحصائية يلزم عرضها في شكل رسومات هندسية لتبسيطها وجعل الرؤية للعالقة بين المتغيرات أكثر سهولة من الجدول من حيث الزيادة والنقصان لبعض الظواهر المختلفة خالل فترة زمنية معينة. أ- األعمدة البيانية وهي عبارة عن مستطيالت رأسية قاعدتها ذات سمك مناسب متساوي وارتفاعاتها تمثل القراءات للظاهرة محل الدراسة. األعمدة البسيطة وتستخدم لتمثيل قيم المشاهدات لظاهرة واحدة محل الدراسة وقد تكون هذه المشاهدات مقيسه بالنسبة للزمن أو غير ذلك. مثال: الجدول التالي يمثل توزيع ثالثين عامال حسب الحالة االجتماعية والمطلوب تمثيل البيانات باستخدام األعمدة البيانية: الحالة االجتماعية عدد العمال أعزب 9 متزوج 6 الحل مطلق 3 أرمل المجموع 30 الحالة االجتماعية لعمال المصنع 0 5 Series 0 5 متزوج مطلق أرمل أعزب 0 الحالة االجتماعية األعمدة البيانية المزدوجة )المتالصقة( يستخدم هذا النوع إلظهار المقارنة بين ظاهرتين أو أكثر مثل مقارنة عدد الطالب بعدد الطالبات في بلد معين. مثال: الجدول اآلتي يمثل عدد المدارس الثانوية للذكور واإلناث في المملكة العربية السعودية في الفترة من 395/96 إلى 400/40 السنة 400/40 99/400 98/99 97/98 96/97 95/96

13 عدد مدارس الذكور عدد مدارس اإلناث الحل األعمدة البيانية المجزأة تستخدم األعمدة البيانية المجزأة في حالة وجود أكثر من ظاهرة مثل ما تم بالنسبة لألعمدة المزدوجة السابقة. ولكن في هذه الحالة يرسم عمود واحد لمجموع القيم لبيانات الظاهرتين المرغوب تمثيلها. ثم يقسم المستطيل بنسبة عدد البيانات لك ظاهرة. مثال: أستخدم بيانات المثال السابق في رسم األعمدة البيانية المجزأة. الحل 3

14 أعداد المدارس أعداد ال مدراس االعمدة البيانية العداد المدارس الثانو ية للذكور واالناث 400/40 99/400 98/99 97/98 96/97 95/96 السنوات عدد مدارس االناث عدد مدارس الذكور ب- الخط البياني هو عبارة عن خط منكسر يمثل مسار البيانات وعادة يستخدم في حالة المشاهدات لفترات زمنية حيث المحور األفقي يمثل الزمن. والمحور الرأسي يمثل قيم المشاهدات. يمكن استخدم هذا النوع في مقارنة ظاهرتين أو أكثر. مثال: استخدم بيانات المثال السابق لرسم خط بياني يمثل تطور عدد المدارس للطالب والطالبات. الحل لخط البياني العداد المدارس الثانوية للطالب والطالبات 400 عدد مدارس الذكور عدد مدارس االناث /40 99/400 98/99 97/98 96/97 95/96 السنوات 0 ت- الرسوم الدائرية 4

15 وهي عبارة عن دائرة تقسم إلى قطاعات زواياها المركزية تتناسب مع القراءات ويمكن حساب الزاوية الخاصة بقطاع يمثل قراءة من القراءات من القانون اآلتي: 360 الزاوية المركزية لقطاع ممثل لقراءة معينة القراءة نفسها * = مجموع القراءات مثال: الجدول التالي يمثل توزيع المبتعثين للدارسة من جامعة الملك سعود حسب الدرجات العلمية المطلوبة حتى العام الدراسي 397/396 ه. مثل هذه البيانات بالرسوم الدائرية. الدرجة عدد المبتعثين دكتوراه 334 ماجستير 47 الحل دبلوم أخرى 8 المجموع = الزاوية المركزية للدكتوراه= * = 47 الزاوية المركزية للماجستير = * ونستخرج بقية الزوايا بنفس الطريقة ثم نستخدم الفرجار لرسم الدائرة الدائرة. باستخدام المنقلة نستطيع تحديد زاوية كل قطاع. ثم نعين نقطة مركز عدد المبتعثين لجامعة الملك سعود دكتوراه ماجستير دبلوم اخرى 5

16 التمثيل البياني للتوزيعات التكرارية: الهدف من التمثيل البياني للتوزيعات التكرارية هو تلخيص وتوضيح البيانات ووضعها في شكل بسيط يمكن بوساطتها فهم طبيعية التوزيعات التكرارية وصورها المختلفة مثل إن يكون التوزيع طبيعي. - المدرج أ- التكراري يرسىىم المىىدرج التكىىراري علىىى محىىورين متعامىىدين األفقىىي يمثىىل حىىدود الفئىىات والرأسىىىي يمثىىىل التكىىىرار ونرسىىىم مسىىىتطيالت متالصىىىقة قاعىىىدتها طىىىول الفئىىىة وارتفاعاتها تكرارات هذه الفئات. مثال: الجدول التالي يوضح توزيع األجر اليومي لخمسين عامال: فئات األجر المجموع التكرار 5 عدد العمال والمطلوب رسم المدرج التكراري. الحل 6

17 Std. Dev =.50 Mea = N = V5 ب- المضلع التكراري يرسم المضلع التكراري بتحديد مراكز الفئات على المحور األفقي, وتعيين التكرارات المقابلة لها على المحور العمودي, ومن ثم التوصيل بين نهايات النقاط لألعمدة التكرارية بخطوط مستقيمة, بعد إضافة فئتين عند بداية ونهاية المحور األفقي وبتكرار مقداره صفر. يمكن رسم المضلع على المدرج التكراري في الشكل نفسه. مثال : أرسم المضلع التكراري لبيانات المثال السابق. الحل في البداية يجب إيجاد مراكز الفئات: الحد االدنى للفئة + الحد األعلى للفئة مركز الفئة = 30+5 مركز الفئة األولى = = 7.5 ثم نوجد مركز الفئة الثانية وهكذا لبقية الفئات حتى يصبح لدينا الجدول التالي: مراكز الفئات 7

18 FREQUANC التكرار )عدد العمال( BOUND مثال ت- المنحني التكراري بتمهيد المضلع التكراري )باليد( نحصل على ما يسمي المنحني التكراري. أي بدال من توصيل النقاط بالمسطرة كما اتبع في المضلع التكراري فانه يمهد المنحني باليد, ويراعى بأن يكون انسيابيا, حتى لو لم يمر المنحني على بعض النقاط. يمكن رسم المنحني على المدرج التكراري أو المضلع التكراري. : أرسم المنحني التكراري لبيانات المثال السابق. الحل 8

19 FREQUANC BOUND ث- المنحنى المتجمع الصاعد يرسم المنحني المتجمع الصاعد من جدول المتجمع الصاعد وذلك على محورين متعامدين األفقي يمثل حدود الفئات والرأسي يمثل التكرار المتجمع الصاعد. مثال: أستخدم بيانات المثال السابق في رسم المنحني المتجمع الصاعد. الحل أوال ننشئ الجدول المتجمع الصاعد حدود الفئات أقل من 30 أقل من 35 أقل من 40 أقل من 45 أقل من 50 أقل من التكرار 5 المتجمع الصاعد 9

20 CUMFR HIGH ج- المنحنى المتجمع الهابط يرسم المنحني المتجمع الهابط من جدول المتجمع الهابط وذلك على محورين متعامدين األفقي يمثل حدود الفئات والرأسي يمثل التكرار المتجمع الهابط. مثال: في المثال السابق أوجد جدول المتجمع الهابط ثم ارسم المنحني المتجمع الهابط. الحل حدود الفئات 5 فأكثر 30 فأكثر 35 فأكثر 40 فأكثر 45 فأكثر 50 فأكثر التكرار المتجمع 50 الصاعد 0

21 CUM LOW 4- مقاييس النزعة المركزية )المتوسطات( Measures of Cetral Tedecy سبق أن استعرضنا كيفية عرض البيانات اإلحصائية وتلخيصها في جداول تكرارية أو رسومات بيانية وذلك للتعرف على بعض خصائص شكل التوزيعات التكرارية للبيانات وطبيعتها. ومن

22 المعروف أن الرسوم البيانية تكون غير دقيقة لذلك فمن الممكن الحصول على معلومات أدق وأفيد لدراسة البيانات, وذلك من خالل بعض المقاييس العددية التي تصف هذه البيانات. وسوف نستعرض في هذا الفصل نوع مهم من المقاييس اإلحصائية وهو ما يسمي بمقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات. وهي مقاييس عددية تحدد موقع النقطة التي تتمحور حولها كافة القيم. وتعتبر هذه المقاييس مفيدة في المقارنة بين التوزيعات المختلفة. وسوف نتطرق إلى ثالث أنواع فقط من مقاييس النزعة المركزية: أ- الوسط الحسابي ب- الوسيط ت- المنوال أ- الوسط الحسابي Arithmetic Mea يعتبر الوسط الحسابي من أهم مقاييس النزعة المركزية وأكثرها استخداما في اإلحصاء حيث يستخدم في مقارنة الظواهر المختلفة. ويعرف الوسط لمجموعة من القيم هو القيمة التي لو أعطيت لكل مفردة في المجموعة لكان مجموع قيم المفردات الجديدة مساويا لمجموعة قيم المفردات األصلية. يمكن حساب الوسط الحسابي بطريقتين تبعا لطبيعة البيانات محل الدراسة:. الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة Data( )Ugrouped الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة هو مجموع المفردات مقسوما على عددها. إذا كان لدينا,...,x x, فان وسطها الحسابي ولنرمز له بالرمز x وعلية x مجموعة من القيم عددها وهي فان: x x x... x ويمكن كتابة هذه المعادلة بأسلوب أبسط كما يلي : x i x i مثال: أوجد الوسط الحسابي للبيانات التالية:, 4, 3, 8, 7, الحل 6 x i i وبتطبيق القانون نحصل على x 36 6 i i x 6

23 . الوسط الحسابي للبيانات المبوبة f, f,..., f إذا كان لدينا k من الفئات ذات المركز,...,x x, فان الوسط الحسابي يعطى بالصيغة التالية: ولها تكرارات على الترتيب x x f x f... xk fk f f... f x k i k x i i f f i i k x k مثال: الجدول التالي يمثل مدة الخدمة بالسنوات ل 40 موظفا بإحدى الشركات: فئات الخدمة 5-0 عدد الموظفين المجموع والمطلوب أيجاد الوسط الحسابي لمدة الخدمة. الحل 7 3 أوال نوجد مراكز الفئات وذلك بجمع الحد األدنى مع الحد األعلى لكل فئة ثم قسمة المجموع على اثنان. ثانيا ضرب مركز كل فئة في تكرارها. أي أن: وهكذا نوجد بقية مراكز الفئات 5+0 مركز الفئة األولى= = فئات 5-0 الخدمة المجموع f i x i x i f i 3

24 x k i k x i i f f i i x يتضح أن متوسط مدة الخدمة للموظفين في هذه الشركة هو 4 سنة تقريبا. i ( x i x) 0 بعض خصائص الوسط الحسابي مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي الصفر. أي أن مثال: أوجد الوسط الحسابي للبيانات التالية ثم أثبت الخاصية السابقة:, 4, 3, 8, 7, الحل 6 x i i وبتطبيق القانون نحصل على i x 36 6 i i x ( x i x) ( 6) (4 6) (3 6) (8 6) (7 6) ( 6) مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل ما يمكن. مميزات الوسط الحسابي يأخذ جميع القيم في االعتبار. سهل الحساب والتعامل معه جبريا. أكثر المقاييس اإلحصائية استخداما. يدخل في حساب مقاييس أخرى. يعطي قيمة واحدة للمجموعة. عيوب الوسط الحسابي يتأثر بالقيم المتطرفة. ال يمكن حسابه في حالة الجداول المفتوحة. ال يمكن استخدامه في حالة البيانات الوصفية. 4

25 ب- الوسيط Media يعىرف الوسىيط لمجموعىة مىن القىيم بأنىه القيمىة التىي تقسىم القىيم إلىى مجمىوعتين متسىاويتين بعىد ترتيبها تصاعديا أو تنازليا. - الوسيط للبيانات غير المبوبة إليجاد الوسيط للبيات غير المبوبة نقوم بترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا. فإذا كان عدد القيم فرديىا يكون الوسيط هو القيمة التي فىي المنتصىف وإذا كىان عىدد القىيم زوجيىا فىان الوسىيط هىو متوسىط القيمتين اللتين في المنتصف. مثال: أحسب الوسيط للبيانات التالية:, 7, 4, 0, 5, 9, 8 الحل أوال نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا أو تنازليا 4,, 0, 9, 8, 7, 5 ثانيىا نالحىظ بىان عىدد البيانىات فرديىا ويسىاوي سىبعة أي أن الوسىيط هىو القيمىة التىي فىي المنتصف وهي القيمة 9 الن قبلها ثالث قيم وبعدها ثالث قيم. مثال: أحسب الوسيط للبيانات التالية: 3, 5,, 7,, 9, 3, 8 الحل M e نرتب البيانات ترتيبا تصاعديا أو تنازليا 9, 8, 7, 5, 3, 3,, عدد البيانات زوجية ويساوي ثمانية أي إن هناك قيمتان في المنتصف )وهي 3 و 5 ( لذلك فان الوسيط هو مجموع القيمتان مقسوما على اثنان. أي أن الوسيط ونرمز له بالرمز M e مثال: أوجد الوسيط للبيانات التالية: القيمة التكرار المجموع 6 الحل بما أن القيم مرتبة ترتيبا تصاعديا فإننا نحدد ما إذا كان عدد القيم فرديه أم زوجية. هنىاك 6 قيمىة )مجمىوع التكىرارات( أي إن عىدد القىيم زوجيىة لىذلك هنىاك قيمتىان فىي المنتصىف قبلهىا سىبعة قىيم 5

26 وبعدها سبع قيم ( المجموع أربعه عشر قيمىة(. ترتيبيهمىا لقيمىة الثامنىة والتاسىعة وتسىاوي 3 و 3. لذلك فالوسيط هو M e الوسيط للبيانات المبوبة في حالة البيانات المبوبة ( الجداول التكرارية( فانه يمكن أيجاد الوسيط حسابيا أو بيانيا. أوال: أيجاد الوسيط حسابيا لحساب الوسيط نتبع الخطوات التالية: نكون الجدول المتجمع الصاعد. ( نحسب ترتيب الوسيط ونرمز له بالرمز K حيث ( K أي أن ترتيب الوسيط يساوي مجموع التكرارات مقسومة على اثنان. 3( نحىدد فئىة الوسىيط )وهىي الفئىة التىي يقىع فيهىا الوسىيط( وذلىك بمقارنىه ترتيىب f هىىو التكىىرار األقىىل الوسىىيط K بىىالتكرارات المتجمعىىة الصىىاعدة فىىإذا كانىىت f هو التكرار األكبىر مباشىرة مىن ترتيىب الوسىيط مباشرة من ترتيب الوسيط و فيكون الحد األدنى لفئة الوسيط ونرمز له بالرمز L هىو الحىد المنىاظر للتكىرار. f 4( نحسب الوسيط باستخدام المعادلة التالية: حيث K f M e L. r f f f r هي طول فئة الوسيط. الفئات عددددددددددددددد الطالب مثال: البيانات التالية تمثل توزيع درجات األعمال الفصلية لخمسين طالبا المجموع والمطلوب حساب الوسيط لدرجات الطالب. إيجاد جدول المتجمع الصاعد الحل ) الفئات عددددددددددددددد الطالب حددددددددددود الفئات أقل من 0 أقىىىىىل مىىىىىن 30 أقىىىىىل مىىىىىن 40 أقىىىىىل مىىىىىن 50 أقىىىىىل مىىىىىن 60 المجموع 50 6

27 التكددددددرار المتجمدددع الصاعد f 8 f 8 3 ) حساب ترتيب الوسيط f K 50 K 5 ) 3 تحديد فئة الوسيط القيمة 8 هي القيمة األقل مباشرة من ترتيب الوسيط و 30 هي القيمة األكبر مباشرة f و من ترتيب الوسيط لذلك فان فئة الوسيط هي بىين 40 و 50 درجىة. أي أن 8 r و 0 L و 40 f 30 M M K f M e L. r f f e e ( حساب الوسيط ثانيا: إيجاد الوسيط بيانيا يمكن أيجاد الوسيط بالرسم من المنحني المتجمع الصاعد أو الهابط أو االثنين معا. أيجاد الوسيط باستخدام أحد المنحنيين بعد رسم المنحني المتجمع الصاعد )أو الهابط( نمد خطىا موازيىا لمحىور حىدود الفئىات عنىد نقطىة ترتيب الوسيط على محور التكرارات المتجمعة ونقطىة التقىاطع نسىقط عمىودا علىى محىور حىدود الفئات فيحدد هذا العامود قيمة الوسيط على محور حدود الفئات. مثال: في المثال السابق أوجد الوسيط بيانيا باستخدام المنحني المتجمع الصاعد. الحل حدددددددددددود الفئات التكددددددرار المتجمدددع أقل من 0 أقل من 30 أقل من 40 أقل من 50 أقل من

28 CUMFREQ الصاعد BOUND نستنتج من الرسم بان الوسيط يساوي 45.5 تقريبا. أيجاد الوسيط باستخدام المنحنيين معا في هذه الحال نرسم المنحنيين معا وعند نقطة تقاطعهما نسىقط عىامودا علىى محىور حىدود الفئىات فيكون الوسيط. مثال: في المثال السابق أوجد الوسيط بيانيا باستخدام منحنيي المتجمع الصاعد والهابط. الحل 50 فأكثر 0 40 فأكثر 3 حدددددددددددود 0 فأكثر 0 فأكثر 30 الفئات التكددددددرار المتجمدددع الهابط فأكثر

29 CUMFREQ BOUND يمكن استنتاج الوسيط من الرسم وهو 45.5 تقريبا. مميزات الوسيط ( ال يتأثر بالقيم المتطرفة. ( يمكن إيجاد الوسيط للبيانىات الوصىفية التىي لهىا صىفة الترتيىب وكىذلك للجىداول التكراريىة المفتوحة. 3( الوسيط يعطي قيمة واحدة للمجموعة. عيوب الوسيط ( ال يأخذ جميع القيم في الحساب. ( الوسيط ال يسهل التعبير عنه جبريا أو التعامل معه رياضيا. 9

30 المنوال ج- Mode يعرف المنوال لمجموعة من البيانات بأنه القيمة أو الصفة األكثر تكرارا أو شيوعا. لذلك فان المنوال يمكن ايجاده للبيانات الكمية والوصفية كذلك. كما قد يكون لمجموعة من البيانات منوال واحد أو أكثر من منوال أو ال يكون للبيانات منوال. - المنوال للبيانات غير المبوبة من تعريف المنوال يمكن إيجاد المنوال للبيانات غير المبوبة بسهولة وهو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها. مثال: أوجد المنوال للبيانات التالية:, 3, 7, 3, 4,, 5, 3, 6 0 الحل المنوال= 3 ألنها القيمة األكثر تكرارا وقد تكررت ثالث مرات. مثال: أوجد المنوال للبيانات التالية: 0, 7, 6, 5, 4,,, 5, 4,, 3 الحل في هذه البيانات يوجد ثالث مناويل وهي مثال: أوجد المنوال للبيانات التالية: 4, 8,, 6, 3,, 5 و 4 و 5 الن كل منها تكررت مرتان. الحل ال يوجد منوال في هذه البيانات ألنه ال يوجد قيمة تكررت أكثر من غيرها. مثال: أوجد المنوال للبيانات التالية والتي تمثل توزيع عدد أفراد اآلسرة لمجموعة من الموظفين: المجموع عدد أفراد اآلسرة عدد الموظفين الحل المنوال= 4 أفراد وهي القيمة التي يقابلها أكبر تكرار وهو 4 موظف. مثال: الجدول التالي يوضح توزيع مجموعة من عمال إحدى الشركات حسب الحالة االجتماعية: المجموع أرمل مطلق متزوج أعزب الحالة االجتماعية عدد العمال الحل المنوال= متزوج ألنها الصفة التي يقابلها أكبر تكرار. 30

31 - المنوال للبيانات المبوبة إذا كانت البيانات في جداول تكرارية ذات فئات وتكرارات فيمكن إيجاد المنوال حسابيا أو بيانيا. إيجاد المنوال حسابيا هناك اكثر من طريقة تقريبية لحساب المنوال وال تعطي هذه الطرق )بالضرورة( نفس النتيجة وتعتمد كل منها على تحديد الفئة المنوالية ثم تحديد المنوال داخل الفئة المنوالية. ويمكن تعريف الفئة المنوالية بأنها الفئة التي يقابلها أكبر تكرار ( أصلي في حالة الجداول المنتظمة ( ذات أطوال الفئات المتساوية( والمعدل في حالة الجداول غير المنتظمة ( ذات أطوال الفئات غير المتساوية(. الحظ انه من الممكن أن يكون هناك منواالن )أو أكثر( للبيانات المبوبة وذلك إذا كان هناك فئتان يقابلهما أكبر تكراران متساويان, لذلك يحسب المنوال لكل فئة منوالية على حدة. و سوف نتكلم عن طريقتين لحساب المنوال..I الطريقة األولى: مركز الفئة المنوالية وتعتبر هذه الطريقة أبسط وأسهل طرق حساب المنوال. والمنوال في هذه الطريقة هو عبارة عن مركز الفئة المنوالية. مثال: الجدول التالي يمثل توزيع األعمار لمجموعه من موظفي إحدى المؤسسات التجارية: فئات العمر عدد الموظفين المجموع 50 والمطلوب حساب المنوال. الحل الحد األدنى لفئة المنوال + الحد األعلى لفئة المنوال المنوال= مركز الفئة المنوالية = الفئة المنوالية هي وهي الفئة التي يقابلها أكبر تكرار. 3 المنوال ونرمز له بالرمز Mo هو: Mo 4.5 3

32 وتكون هذه الطريقة دقيقة إذا كان التكرار السابق لتكرار الفئة المنوالية مساويا للتكرار الالحق لتكرار الفئة المنوالية. وفي هذه الحالة تتساوى قيمة المنوال للطرق المختلفة لحساب المنوال. الطريقة الثانية: طريقة بيرسون وهي من أفضل وأدق طرق حساب المنوال. ويحسب المنوال في هذه الطريقة بالمعادلة التالية: Mo L. r حيث: L الحد األدنى للفئة المنوالية. الفرق بين تكرارات الفئة المنوالية والتكرار السابق لها. الفرق بين تكرارات الفئة المنوالية والتكرار الالحق لها. r طول الفئة المنوالية مثال: في المثال السابق أوجد المنوال باستخدام طريقة بيرسون الحل ( نتأكد من أن أطوال الفئات متساوية فئات العمر عدد الموظفين أطوال الفئات بما إن أطوال الفئات متساوية فإننا نستخدم التكرارات األصلية. ( نحدد الفئة المنوالية وهي الفئة المقابلة ألكبر تكرار وهي ( نستخدم المعادلة إليجاد المنوال: Mo L. r 3 0 Mo (3 0) (3 8) مثال: أوجد المنوال لألنفاق الشهري بمئات الرياالت لمجموعة من اآلسر كما هو موضح بالجدول التالي: فئات األنفاق عدد اآلسر الحل 3

33 ( نتأكد من أن أطوال الفئات متساوية فئات األنفاق 9 4 عدد اآلسر طول الفئة من الواضح أن أطوال الفئات غير متساوية لذلك يجب حساب التكرار المعدل. التكرار األصلي التكرار المعدل = طول الفئة التكرار المعدل للفئة األولى= 4 3 =.33 التكرار المعدل للفئة الثانية = 9 3 = 3 التكرار المعدل للفئة الثالثة= 6 = التكرار المعدل للفئة الرابعة= 0 4 =.5 التكرار المعدل للفئة الخامسة= 5 3 = فئات األنفاق 9 4 عدد اآلسر طول الفئة 3.33 التكرار المعدل تحديد الفئة المنوالية وهي الفئة التي يقابلها أكبر تكرار معدل وهي 3-0 حساب المنوال Mo L. r (3.33) Mo (3.33) (3 ) ) )3 إيجاد المنوال بيانيا يمكن حساب المنوال بيانيا برسم المدرج التكراري, ومن الممكن االكتفاء برسم ثالث مستطيالت من المدرج التكراري وهي المستطيل الممثل للفئة المنوالية, والمستطيالن السابق والالحق. ويتم أيجاد المنوال بربط زوايا مستطيل الفئة المنوالية قطريأ بزوايا المستطيالن السابق والالحق, وإنزال خط عمودي من نقطة التقاء الخطوط القطرية على المحور األفقي لتكون النقطة التي يتقاطع معها على المحور األفقي هي المنوال..II مثال: الجدول التالي يمثل توزيع األعمار لمجموعه من موظفي إحدى المؤسسات التجارية: 33

34 فئات العمر عدد الموظفين والمطلوب حساب المنوال بيانيا. الحل بما أن أطوال الفئات متساوية فإننا نستخدم التكرارات األصلية في رسم المدرج التكراري إليجاد المنوال وسوف نكتفي برسم المستطيل الممثل للفئة المنوالية والمستطيالن السابق والالحق للفئة المنوالية. مثال: أوجد المنوال لإلنفاق الشهري بمئات الرياالت لمجموعة من اآلسر كما هو موضح بالجدول التالي: فئات اإلنفاق عدد اآلسر الحل بما أن أطوال الفئات غير متساوي فإننا نوجد التكرارات المعدلة )أنظر إلى المثال ما قبل السابق(. ونستخدم التكرارات المعدلة في رسم مستطيل الفئة المنوالية والمستطيالن السابق والالحق. مميزات المنوال سهل الحساب ال يتأثر بالقيم المتطرفة. يمكن حسابه في حالة الجداول المفتوحة. يمكن حسابه في حالة البيانات الوصفية. عيوب المنوال ال يأخذ جميع القيم في الحساب. ال يعطي دائما قيمة واحدة للمجموع )في حالة وجود أكثر من منوال( في بعض الحاالت ال يوجد للبيانات منوال. العالقة بين الوسط الحسابي والوسيط والمنوال أ- في حالة التوزيعات التكرارية المتماثلة في هذه الحالة يكون المتوسطات الثالث متساوية. أي الوسط الحسابي = الوسيط = المنوال. 34

35 في حالة التوزيعات التكرارية القريبة من التماثل )االلتواء بسيط( في هذه الحالة أي عندما يكون االلتواء بسيط نحو اليمين أو اليسار فانه توجد عالقة تجريبية بين المقاييس الثالث كما يلي: الوسط الحسابي - المنوال = 3) الوسط الحسابي - الوسيط( ويمكن إيجاد أي متوسط من المتوسطات الثالث بمعرفة باقي المتوسطات األخرى. ج- في حالة التوزيعات التكرارية البعيدة عن التماثل )االلتواء كبير( أما في هذه الحالة فان العالقة السابقة غير صحيحة وذلك بسبب االلتواء الكبير. عندما يكون االلتواء إلى اليمين يكون الوسط الحسابي أكبر ثم الوسيط ثم المنوال إما إذا كان االلتواء إلى اليسار فان الوسط الحسابي اصغر ثم الوسيط ثم المنوال. 5- مقاييس التشتت: سبق أن درسنا في الفصل السابق المتوسطات )مقاييس النزعة المركزية( والتي تقيس مركز البيانات إال أن هذه المقاييس غير كافية لدراسة جميع خصائص البيانات وخصوصا عند مقارنة مجموعتين أو اكثر من البيانات. قد يوجد مجموعتان من البيانات متساوية من حيث المتوسط ولكنهما مختلفتان في كثير من الخصائص لذلك فمن الضروري التعرف على مقاييس أخرى تقيس مدى تجانس البيانات مثال. مثال: إذا كانت درجات مجموعتين من الطالب في أحد االمتحانات كما يلي: المجموعة األولى: 6, 5, 4, 3, المجموعة الثانية: 0, 7, 4,, 8 تتساوى المجموعتين في قيمة الوسط الحسابي والوسيط لكل منهما حيث نجد أن كالهما يساوي 4 لكل مجموعة ومع ذلك نالحظ أن درجات طالب المجموعة األولى أقل انتشارا أو تباعدا ( 35

36 أ- أكثر تجانس( من درجات طالب المجموعة الثانية وعلى ذلك فان تساوي المجموعتين في المتوسط ال يعني أنهما متشابهتان. لذلك البد من وجود مقاييس أخرى يمكن استخدامها لقياس مدى انتشار البيانات ( أو تجانسها( مثل هذه المقاييس تسمي مقاييس التشتت. وهي كثيرة وسوف نعرض منها: المدى ب- نصف المدى الربيعي ج االنحراف المعياري )والتباين( د- معامل االختالف. Rage المدى أ- يعرف المدى لمجموعة من القيم بأنه الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في المجموعة. أي أن : المدى = أكبر قيمة أصغر قيمة وذلك بالنسبة للبيانات غير المبوبة. أما في حالة البيانات المبوبة فان المدى هو الفرق بين الحد األعلى للفئة األخيرة والحد األدنى للفئة األولى. أي أن: المدى = الحد األعلى للفئة األخيرة الحد األدنى للفئة األولى مثال: أحسب المدى في المثال السابق للمجموعتين. الحل المدى للمجموعة األولى = -6 = 4 المدى للمجموعة الثانية = 0 8 = يمكن مالحظة أن المدى للمجموعة األولى أقل من المدى للمجموعة الثانية ولذلك يمكن القول أن المجموعة األولى أقل تشتت ( أكثر تجانس( من المجموعة الثانية. مثال: أوجد المدى لآلجر اليومي لعينة مكونة من 50 عامال كما في الجدول التالي: فئات األجور عدد العمال الحل المدى = = 30 لاير مميزات المدى سهل الحساب. يعطى فكرة سريعة عن طبيعية البيانات يستخدم في بعض تطبيقات مثل مراقبة جودة اإلنتاج و في األرصاد الجوية. 36

37 عيوب المدى ال يأخذ جميع القيمة في الحساب. يتأثر بالقيم المتطرفة. ال يمكن حسابه في حالة الجداول المفتوحة أو البيانات الوصفية. ب- نصف المدى الربيعي الحظنا أن من أهم عيوب المدى تأثره بالقيم الشاذة ومن ثم فهو ال يعطي صورة صادقة عن طبيعة البيانات, لذا فمن الواجب إيجاد مقياس أو مقاييس أخرى يتخلص من تأثير هذه القيم الشاذة ومن أهم هذه المقاييس نصف المدى الربيعي ويرمز له بالرمز W. نصف المدى الربيعي للبيانات غير المبوبة يحسب كالتالي )إذا كان لدينا من القيم(: ( ترتيب البيانات تصاعديا. Q وهي 4/ في حالة ما إذا كانت تقبل ( نوجد ترتيب الربيع األول Q هي القيمة التي رتبتها 4/. أما القسمة على 4 وبذلك تكون قيمة Q هي إذا كانت ال تقبل القسمة على 4 فتكون قيمة الربيع األول متوسط القيمتين اللتين يقع بينهما العدد الكسرى 4 /. Q 3 وهي القيمة التي رتبتها 4/3 في حالة كون 3( نحسب الربيع الثالث تقبل القسمة على 4. أما فيما عدا ذلك فقيمة الربيع الثالث هي متوسط القيمتين اللتين يقع بينهما العدد الكسرى 4/3 أي إذا كانت ال تقبل القسمة على 4. 4( نحسب نصف المدى الربيعي W بتطبيق العالقة التالية: Q 3 Q W - مثال: أوجد نصف المدى الربيعي ألوزان مجموعة من الطالب التالية: 67, 65, 69, 58, 55, 7, 7, 70 الحل ( نرتب البيانات تصاعديا ( عدد القيم ثمانية( 7, 7, 70, 69, 67, 65, 58, 55 ( نوجد ترتيب الربيع األول وهي 4/ أي =8/4 إذا القيمة التي ترتيبها اثنان هي الربيع األول ويقابلها القيمة. 58 إذا القيمة التي 7, 7, 70, 69, 67, 65, 58, 55 3( نوجد ترتيب الربيعي الثالث وهي 4/3 أي =4/(8*3) 6 ترتيبها ستة هي الربيع الثالث ويقابلها القيمة. 70 4( نحسب نصف المدى الربيعي وهي: W= (70-58)/ = 6 مثال: أوجد نصف المدى الربيعي ألوزان مجموعة من الطالب التالية: 59, 67, 65, 69, 58, 55, 70, 7, 74 37

38 الحل نرتب البيانات تصاعديا ( عدد القيم تسعة( 74, 7, 70, 69, 67, 65, 59, 58, 55 نوجد ترتيب الربيع األول وهي 4/ أي 9/4=.5 إذا قيمة الربيعي األول هي متوسط القيمتين اللتين يقع بينهما العدد الكسرى.5. 74, 7, 70, 69, 67, 65, 59, 58, 55 أي أن = 58.5 Q=(59+58)/. نوجد ترتيب الربيع الثالث وهي 4/3 أي =4/(9*3) 6.75 إذا قيمة الربيع الثالث هي متوسط القيمتين اللتين يقع بينهما العدد الكسرى أي أن :.Q3= (69+70)/ = 69.5 نحسب نصف المدى الربيعي وهي: W= ( )/ = 5.5 ) ) )3 )4 - نصف المدى الربيعي للبيانات المبوبة يتم حساب نصف المدى الربيعية بنفس الطريقة التي تم بها حساب الوسيط في الفصل السابق. خطوات حساب نصف المدى الربيعي: ( إنشاء جدول المتجمع الصاعد. ( أيجاد ترتيب الربيع األول أي: Q K K : K 4 f الوسيط. 3( حساب الربيع األول ثم تحديد فئة الربيع األول بنفس طريقة تحديد فئة Q L.r f f f حيث : L f f r الحد األدنى لفئة الربيع األول التكرار المتجمع الصاعد السابق للتكرار المتجمع للربيع األول التكرار المتجمع الصاعد الالحق للتكرار المتجمع للربيع األول طول فئة الربيع األول أيجاد ترتيب الربيع الثالث K f الوسيط. K أي: ثم تحديد فئة الربيع الثالث بنفس طريقة تحيد فئة )4 38

39 Q K ' 3 3 L3.r ' ' 3 f f f حساب الربيع الثالث: الحد األدنى لفئة الربيع الثالث التكرار المتجمع الصاعد السابق للتكرار المتجمع للربيع الثالث التكرار المتجمع الصاعد الالحق للتكرار المتجمع للربيع الثالث طول فئة الربيع الثالث )5 حيث : L 3 ' f ' f r 3 حساب نصف المدى الربيعي بالعالقة التالية: Q 3 Q W )6 مثال: أوجد نصف المدى الربيعي للبيانات التالية التي تمثل توزيع األجور اليومي لمجموعة من العاملين: فئات 30-5 األجور عدد العمال المجموع الحل 8 5 ( إنشاء جدول المتجمع الصاعد. حدود الفئات التكرار المتجمع الصاعد أقل من 30 5 أقل من 35 3 f أقل من 40 3 أيجاد ترتيب الربيع األول أقل من ' f أي: أقل من ' f أقل من K ثم تحديد فئة الربيع األول بنفس طريقة تحديد Q K : Q K L.r f f.5 5 Q f f ) فئة الوسيط. 3( حساب الربيع األول K 3 أيجاد ترتيب الربيع الثالث أي: K ) فئة الوسيط. 5( حساب الربيع الثالث: ثم تحديد فئة الربيع الثالث بنفس طريقة تحيد 39

40 Q )6 حساب نصف المدى الربيعي بالعالقة التالية: Q 3 Q W W = ( )/ = 5.3 مميزات وعيوب نصف المدى الربيعي هي مثل مميزات وعيوب الوسيط التي سبق ذكرها. Stadard deviatio ج- االنحراف المعياري يعرف االنحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي للتباين ويعرف التباين بأنه متوسط مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي. االنحراف المعياري للبيانات غير المبوبة نستخدم الصيغة التالية إليجاد االنحراف المعياري: - s i ( x x) i ولتطبيق هذه الصيغة نتبع الخطوات التالية: ( نحسب الوسط الحسابي ( نحسب انحرافات القيم عن الوسط الحسابي 3( تربيع كل انحراف قيمة عن الوسط 4( نجمع مربعات االنحرافات 5( نأخذ الجذر التربيعي الموجب للمقدار في الخطوة السابقة. مما سبق يتضح لنا مدى صعوبة تطبيق الصيغة السابقة, ولحسن الحظ يوجد صيغة أخرى سهلة التطبيق وهي: s x x مثال: أحسب االنحراف المعياري والتباين لدرجات مجموعة من الطالب: 6, 5, 4, 3, الحل ويلزم لحساب االنحراف المعياري والتباين إيجاد مجموع القيم ومجموع مربعاتها كما يلي: 40

41 x x ثم نستخدم الصيغة التالية لحساب االنحراف: s x x s بالصيغة التالية: ومن المعلوم أن التباين هو مربع االنحراف المعياري لذلك فان التباين يحسب s s x x.99 االنحراف المعياري للبيانات المبوبة يحسب االنحراف المعياري للجداول التكرارية وذلك بإيجاد مراكز الفئات ثم استخدام الصيغة التالية: s x f f xf f والتباين بالصيغة التالية: - s x f f xf f مثال: أوجد االنحراف المعياري والتباين للدرجات أعمال السنة لمجموعة من الطالب: فئات الدرجات عدد الطالب الحل المجموع لحساب االنحراف المعياري للجداول التكرارية نتبع الخطوات التالية: أوال: نوجد مراكز الفئات والتي تساوي مجموع الحد األدنى واألعلى مقسوما على اثنان. ثانيا: نضرب مراكز الفئات في التكرارات المقابلة لها ثم تجمع النواتج. 4

42 ثالثا: نضرب مراكز الفئات في القيم المستخرجة من الخطوة السابقة ومن ثم تجمع النواتج ويكون لدينا الجدول التالي: x f x xf f s s x f f xf f s (.95) والتباين هو: 4.8 مميزات االنحراف المعياري وعيوبه هي مثل مميزات وعيوب الوسيط التي سبق ذكرها. 4

43 مثال أشترك 00 العب تنس في إجادة ضرب الكرة.)serve( والنوع Geder وعدد الرميات Number of aces التي تم تسجيلها لكل العب. يمكن إيجاد هذه البيانات في ملف Work4.sav من موقع الكتاب فى اإلنترنت وهي واضحة في الشكل التالي: للحصول على جدول تك ار ارت ومقاييس النزعة المركزية والتشتت. ا ختر قائمة.Aalyze. انقر علي Descriptive Statistics ثم علي... Frequecies حوار.Frequecies 3. يتم اختيار المتغي ارت المطلوبة ولتكن aces ثم النقر على الزر هذه المتغي ارت إلى مربع.Variable(s) لفتح صندوق لتحريك 43

44 انقر علي زر األمر... Statistics لفتح صندوق الحوار الفرعي Frequecies:.Statistics في مربع Percetile Value يتم اختيار مربع.Quartiles في مربع Cetral Tedecy يتم اختيار المربعات Mea و Media و.Mode في مربع Dispersio يتم اختيار المربعات Std. deviatio و Variace و Rage و Miimum و.Maximum انقر علي.Cotiue 9. انقر علي زر األمر... Chart لفتح صندوق الحوار الفرعي Frequecies:.Chart 0. انقر على زر ال ارديو.Histogram(s) سوف تالحظ إمكانية الحصول علي منحنى التوزيع الطبيعي معه ثم حدد المربع Show ormal curve o.histogram 44

45 .OK انقر علي Cotiue ثم. Statistics aces Valid 00 N Missi 0 g Mea 5.00 Media Mode 5.00 Std. Deviatio Variace 3.37 Rage 9.00 Miimum.00 Maximum 0.00 Percetil

46 es Aces Valid Freque cy Perce t Valid Percet Cumulative Percet Total في الجدول التك ارري يلخص عمصود التكص ارري Frequecy العصدد الكلصي لرمصي الكصرة. علصي سصبيل المثال هناك شخ واحد أجاد ضرب الكرة عشصر مص ارت. يعصرم عمصود النسصبة Percet نسصبة التكصصص ار ارت إلصصصي كصصصل الحصصصاالت بمصصصا فيهصصصا الحصصصاالت التصصصي تحتصصصوي علصصصي قصصصيم مفقصصصودة. عمصصصود النسصصصب الصحيحة Valid Percet هو نسبة التك ار ارت إلي كل الحاالت الحقيقية.Valid بما أنصه لصيس هنصصصاك قصصصيم مفقصصصودة فصصصي بيانصصصات هصصصذا المثصصصال فصصصين النسصصصبتين متسصصصاويتان. وعمصصصود النسصصصبة التجميعيصصصة Cumulative Percet هو مجموع النسبة لهذه الحالة مع كل النسب في الحاالت األقل منها. 46

47 عند الحصول علي نسبتي %5 و %75 من التوزيصع فصين المصدل الربيعصي يمكصن الحصصول عليصه بطرح أحدهم من اآلخر. وعلي سبيل المثال المدل الربيعي يساوي =. للحصول على مخرجات مناسبة لمتغير تصنيفي Categorical ا ختر قائمة.Aalyze انقر علي Descriptive Statistics ثم علي... Frequecies لفتح صندوق حوار.Frequecies يتم اختيار المتغي ارت المطلوبة ولتكن geder ثم النقر لتحريك هذه المتغي ارت إلى مربع.Variable(s) على الزر انقر علي زر األمر... Statistics لفتح صندوق الحوار الفرعي.Frequecies: Statistics يتم اختيار المربع في مربع Cetral Tedecy.Mode 47

48 انقر علي.Cotiue انقر علي زر األمر... Chart لفتح صندوق الحوار الفرعي.Frequecies: Chart انقر على زر ال ارديو.Bar chart انقر علي Cotiue ثم.OK Geder Frequec y Percet Valid Percet Cumulative Percet Valid Total

49 األوامر الوصفية Descriptives commad يمكن أيضا الحصول على مقاييس أخرل للنزعة المركزية والتشتت خالل األمر -Z يسمح هذا األمر بحفظ القيم المعيارية كمتغير. تفيد القيم المعيارية أو قيمة.Descriptive Score في تحليالت أخرل تالية على سبيل المثال ارتباط المتغي ارت في االنحدار المتعدد -Z أو مقارنة بين العينتين من مجتمعين مختلفين. كما أن قيمة Multiple Regressio Score تفيد في التعرف ع ىل الحاالت المتطرفة Outlier والمهمة في عرم البيانات. تعتبر قيمة Z-Score متطرفة Outlier إذا كانت أكبر من 3+ وأقل من للحصول على إحصاءات وصفية و قيمة Z-Score ا ختر قائمة.Aalyze انقر على Descriptive Statistics صندوق حوار.Descriptive ثم علي... Descriptive يتم اختيار المتغي ارت المطلوبة ولتكن aces ثم النقر على الزر هذه المتغي ارت إلى مربع.Variable(s) يتم اختيار مربع.Save stadardized values as variables انقر على زر األمر.Optio لفتح لتحريك 49

50 الحظ أن مربعات Mea و Std. deviatio و Miimum و Maximum تم اختيارها تلقائيا. واذا أردنا الحصول على مقاييس أخرل يتم اختيارها من خالل المربع الخا بها. انقر علي Cotiue ثم.OK.6.7 Descriptive Statistics N Miimu m Maximu m Mea Std. Deviatio aces Valid N (listwise) 00 إذا تم الرجوع إلي نافذة محرر البيانات Data Editor سوف تالحظ أن المقياس العياري -Z " Zaces" تم حفظه كمتغير آخر score مالحظات عامة إذا تم تحديد المربع ونرغب في عدم تحديده, يتم النقر على المربع مرة أخرى فيختفى التحديد. تمرين : الجدول التالي يوضح توزيع مجموعة من الطالب والطالبات حسب الجنس والدرجة في مادة اإلحصاء: الرقم التسلسلي الجنس الدرجة

51 والمطلوب: إدخال البيانات السابقة في برنامج SPSS وتسمية المتغي ارت على أن يكون الجنس )sex( ذكر )male=( وأنثي )female=( والدرجة.)score( أيجاد التوزيع التك ارري للدرجات وحساب المتوسطات واالنح ارف المعياري والتباين. رسم المدرج التك ارري للدرجات و رسم الدائرة واألعمدة البيانية للجنس. ضع متغير الدرجة في صورة متغير وصفي يعبر عن تقدير الطالب. أحفظ البيانات في ملف score وكذلك المخرجات.output ) ) )3 )4 )5 5

52 تعريف االحتمال Probability مقدمة في االحتماالت االحتمال هو فرصة وقوع حدث معينة مثل سقوط المطر على مدينة ما وفرصة فوز فريق على فريق أخر. تعاريف أساسية: التجربدة العشدوائية :Radom Experimet هىي كىل أجىراء نعلىم مسىبقا كىل النتىائج التي قد تترتب علية وعدد هذه النتائج على األقل نتيجتان وكل نتيجة منها محتملة الوقىوع إال انه ال يعلم أي هذه النتائج سوف يتحقق في محاولة معينة. مثال ذلىك عنىد رمىي قطعىة نقود سليمة ومتزنة تعتبر هىذه تجربىة عشىوائية وذلىك ألننىا نعلىم مسىبقا أن هنىاك نتيجتىان لرمي القطعة وهي أما صورة أو كتابة لكننا ال نعلم أي النتيجتين سوف تظهر. الحداالت الكليددة Sample )أو Space فددراا العينددة أو المجموعدة الشدداملة(: هىي كىىل النتائج التي يمكن أن تحدث عند إجراء التجربة العشوائية. - - مثال: عند رمي قطعة نقود فإن الحاالت الكلية هي الصورة أو الكتابة ويمكن كتابة الحاالت الكلية بالشكل التالي: S H, T حيث ترمز للكتابة بالرمز Tونرمز للصورة H مثال: عند رمي حجر نرد فإن الحاالت الكلية هي ظهور الرقم أو أو 3 أو 4 أو 5 أو 6 ومن الممكن كتابة الحاالت الكلية بالشكل التالي: S,,3,4,5,6 الحدث :Evet هي مجموعة جزئية من الحاالت الكلية. ويمكىن أن يكىون الحىدث بسىيط إذا يتكون من عنصر واحد أو حدث مركب وذلك إذا كان يتكون من أكثر من عنصر. -3 مثال: فإذا كان الحدث الذي يمثل ظهور كتابة عند رمي قطعة نقود فإن: A T مثال: إذا كان الحدث الذي يمثل ظهور رقم زوجي عند رمي حجر النرد فإن: S,4,6 4- الحاالت المواتية )أو عدد مرات النجاح(: هي عىدد الحىاالت التىي يتحقىق فيهىا الحىدث أو عدد العناصر التي يتكون منها الحدث أو عدد مرات النجاح. مثال: إذا كان الحدث الذي يمثل ظهور كتابة عند رمي قطعة نقود فإن عدد الحاالت المواتية تساوي واحد. 5

53 مثال: إذا كان الحدث الذي يمثل ظهور رقم زوجي عند رمي حجر النرد فإن عدد الحاالت المواتية تساوي ثالث حاالت. تعريف االحتمال توجد عدة تعاريف لالحتمال ومنها: أ- التعريف التقليدي لالحتمال ويسمي مبدأ تساوي االحتمال وهو أن احتمال أي حدث يساوي خارج قسمة عدد الحاالت المواتية لهذا الحدث على عدد الحاالت الكلية وذلك بشرط تماثل جميع الحاالت الكلية: احتمال الحدث = عدد الحاالت المواتية لوقوع الحدث عدد الحاالت الكلية للتجربة بشرط تماثل الحاالت الكلية ويقصد بتماثل الحاالت الكلية هو أن يكون لكل عنصر من عناصر الحاالت الكلية نفس الفرصة المتساوية. لذلك يقال أن قطعة النقود سليمة ومتوازنة بمعني أن فرص ظهور الصورة تساوي فرصة ظهور الكتابة. وكذلك يقال أن حجر النرد سليم ومتوازن بمعني أن فرصة ظهور كل وجه من األوجه الستة للحجر متساوية. مثال: إذا رمينا قطعة نقود سليمة ومتوازنة أحسب االحتماالت التالية:. الحصول على كتابة. الحصول على صورة الحل عدد الحاالت الكلية لهذه التجربة = وهي صورة أو كتابة - عدد الحاالت المواتية لظهور الكتابة = لذا فان احتمال الحصول على كتابة = - عدد الحاالت المواتية لظهور الصورة = لذا فان احتمال الحصول على صورة = مثال : إذا رمينا حجر نرد سليما ومتوازنا أحسب االحتماالت التالية: - الحصول على الرقم 4 - الحصول على رقم فردي 3- الحصول على رقم أصغر من 3 4- الحصول على رقم أكبر من صفر 5- الحصول على الرقم 7 الحل S,,3,4,5,6 عدد الحاالت الكلية في هذه التجربة 6 وهي 53

54 - الحصول على الرقم 4 عدد الحاالت المواتية لهذا الحدث تساوي وعلية فإن االحتمال P هو: P الحصول على رقم فردي )ونرمز لهو بالرمزA ( عدد الحاالت المواتية لهذا الحدث يساوي 3 وهي: A,3,5 وعلية فأن االحتمال هو P ( A) -3 الحصول على رقم أصغر من 3 )ونرمز لهو بالرمز B) B, وعلية فإن االحتمال هو: يساوي وهي: P ( B) 6-4 وعدد الحاالت المواتية لهذا الحدث الحصول على رقم أكبر من الصفر )ونرمز لهو بالرمز C( وعدد الحاالت المواتية لهذا C,,3,4,5,6 وعلية فإن االحتمال هو: الحدث يساوي 6 وهي: 6 P ( C) 6-5 ويالحظ هنا أن االحتمال يساوي الواحد الصحيح ويعتبر هذا حدث مؤكدا ألنه من المؤكد أن أي رقم نحصل علية عند رمي حجر نرد يكون أكبر من الصفر. ونستنتج من ذلك أن اكبر قيمة لالحتمال هي الواحد الصحيح وذلك عندما يكون الحدث مؤكد. الحصول على الرقم 7 )ونرمز لهذا الحدث بالرمز ) D وعىدد الحىاالت المواتيىة لهىذا الحىدث D يساوي الصفر الن الرقم 7 ليس من ضمن نتائج التجربة وعليىة مىن كتابىة الحىدث: وتسمي المجموعة الخالية وعلية يمكن كتابة االحتمال: 0 P ( D) 0 6 ب- تعريف االحتمال كتكرار نسبي )أو التعريف التجريبي لالحتمال( الحظنا أن التعريف التقليدي لالحتمال يشترط أن تكون الحاالت الممكنة متماثلة )أي متساوية االحتمال( األمر الذي قد ال يتحقق دائما. مثال: قد تكون قطعة النقود متآكلة )أي غير متوازنة( بمعني أن فرصة ظهور الصورة ال تساوي فرصة ظهور الكتابة في هذه الحالة ال يمكن أن تساوي فرصة ظهور الصورة. مثال: عند تقسيم المجتمع إلى مدخنين وغير مدخنين ليس بالضرورة أن احتمال التدخين يساوي احتمال عدم التدخين ويساوي / وذلك الن الحاالت الكلية غير متماثلة ألنه في الغالب عدد المدخنين ال يساوي عدد غير المدخنين. لذلك طور اإلحصاء مفهوم االحتمال إلى شكل )االحتمال التجريبي ) الذي يساوي نهاية التكرار النسبي لوقوع حدث ما عندما يكون عدد مرات أجراء التجربة كبيرا جدا. 54

55 مثال: إذا قمنا بإلقاء قطعة نقود سليمة 000 مرة وسجلنا في كل مرة نوع الوجه الذي يظهر بعد وقوع القطعة فكانت النتيجة 59 مرة ظهرت الصورة أي أن التكرار النسبي لظهور الصورة هو 59/000=0.59 فإذا رمينا القطعة 000 مرة اخرى وسجلنا ظهور الصورة فكان 493 مرة فان التكرار النسبي لظهور الصورة للتجربتين معا هو: وطبقا لتعريف االحتمال التجريبي فإننا باستمرارنا لهذه التجربة عددا كبيرا من المرات فان االحتمال سيقترب أكثر فأكثر من رقم ندعوه احتمال ظهور الصورة في كل رمية لقطعة نقود سليمة وبتنفيذ ذلك سنجد أن هذا االحتمال هو. 0.5 ويمكن تعريف االحتمال النسبي بأنه القيمة التي يستقر عندها التكرار النسبي لوقوع الحدث عندما تزيد عدد مرات إجراء التجربة بدرجة كافية لتحقق ذلك االستقرار للتكرار النسبي. مثال: إذا كان نسبة العمال المتزوجين في مصنع ما تساوي %70 فإن احتمال أن يكون العامل متزوجا في هذا المصنع يساوي 0.7. أي أن االحتمال في هذه الحالة هو النسبة في المجتمع. مثال: الجدول التالي يمثل توزيع عدد من السيارات حسب النوع والقدم كما يلي: جديدة مستعملة المجموع النوع األول النوع الثاني سحبنا سيارة بطريقة عشوائية أحسب االحتماالت التالية: - أن تكون جديدة - أن تكون من النوع الثاني 3- أن تكون من النوع األول أو النوع الثالث الحل النوع الثالث المجموع أن تكون جديدة االحتمال هو احتمال أن تكون جديدة = عدد السيارات الجديد عدد السيارات الكلي 0.65 = 65 = 00 أن تكون من النوع الثاني هو احتمال أن تكون من النوع الثاني = عدد السيارات من النوع الثاني عدد السيارات الكلي 0.35 = 35 =

56 3- أن تكون من النوع األول أو النوع الثالث احتمال أن تكون من النوع األول أو الثالث = عدد سيارات النوع األول + عدد سيارات النوع الثالث عدد السيارات الكلي 0.65 = = 00 قوانين االحتماالت أ- قوانين الجمع تعريف األحداث المتنافية: هي األحداث التي إذا حدث أحداها ال تحدث بقية الحوادث األخرى أي الحوادث التي حدوث أحداها ينفي أو يمنع حدوث الحوادث األخرى. مثال: عند رمي قطعة نقود فإن حدوث الصورة أو الكتابة حدثان متنافيان الن الصورة والكتابة ال يمكن أن يحدث معا. - قانون الجمع لألحداث المتنافية إذا كان B وA حدثين متنافيين فإن احتمال حدوث األول أو الثاني )أي احتمال حدوث أحداهما( هو: P( A B) P( A) P( B) ويرمز إلى االتحاد ويعني )أو( ويمكن تعميم القانون السابق ألي عدد من األحداث المتنافية. مثال: في المثال السابق أحسب احتمال أن تكون السيارة من النوع الثاني أو الثالث الحل باستخدام قانون األحداث المتنافية )ويمكن باستخدام التعريف التقليدي لالحتمال( وجود أو تعني عملية الجمع وحيث أن السيارة من النوع الثاني أو الثالث يعتبر حدثان متنافيان أي ال يمكن حدوثهما معا بمعني أن و احد منهما فقط هو الذي يحدث وإذا رمزنا للحدث األول )سيارة من النوع الثاني( بالرمز A و B للحدث الثاني )سيارة من النوع الثالث( فإن احتمال حدوث األول أو الثاني هو: وبما أن فإن P( A B) P( A) P( B) 35 5 P ( A) 0.35 P ( B) و

57 P ( A B) قانون الجمع لألحداث غير المتنافية )الحالة العامة( تعريف األحداث غير المتنافية: هي الحوادث التي حدوث أحداها ال ينفي أوال يمنع حدوث الحوادث األخرى. إذا كان B و A حدثين غير متنافيين فإن احتمال حدوث األول أو الثاني ( أي احتمال حدوث أحداهما أو كليهما( فإن االحتمال سيكون: P( A B) P( A) P( B) P( A B) ويالحظ أن هذا القانون يختلف عن قانون األحداث المتنافية بوجود احتمال التقاطع P( A B) وهو احتمال حدوث الحدثين معا وسبب طرح احتمال التقاطع هو أن الحدثان يمكن أن يحدثا معا لذلك فانه قد تم حساب احتمال التقاطع مرتين مرة مع الحدث األول والمرة الثاني مع الحدث الثاني لذا يجب حذف أو طرح احتمال التقاطع مرة واحدة. وهذا القانون يعتبر الحالة العامة للجمع ألنه لو كان الحدثان متنافيان فإنه ال يوجد تقاطع بينهما أي أن احتمال التقاطع يساوي الصفر. مثال: في المثال السابق أوجد احتمال أن تكون السيارة جديدة أو من النوع الثاني الحل بما أن الحدثان غير متنافيان ألنه يمكن أن تكون السيارة جديدة ومن النوع الثاني لذا فإننا نستخدم قانون األحداث غير المتنافية: ب- قوانين الضرب P( A B) P( A) P( B) P( A B) P ( A B) تعريف األحداث المستقلة هي األحداث التي حدوث أحداها ال يؤثر في احتماالت حدوث بقية األحداث األخرى. مثال: عند رمي قطعتي نقود فإن نتيجة القطعة األولى مستقل تماما عن نتيجة القطعة الثانية. فكون األولى صورة أو كتابة ليس لها تأثير على اإلطالق على الثانية. - قانون الضرب لألحداث المستقلة إذا B و A حدثين مستقلين فإن احتمال حدوث األول والثاني )أي حدوثهما معا ( ويكتب: كان سيكون: P( A B) P( A B) P( A) P( B) 57

58 أي أن احتمال وقوع حدثين مستقلين معا يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع أي منهما بمفردة في احتمال وقوع األخر بمفردة. ويمكن تعميم هذا القانون على عدد من الحوادث المستقلة. مثال : إذا رمينا قطعتي نقود مرة واحدة, احسب االحتماالت اآلتية: أ- أن تكون األولى صورة والثانية كتابة. ب- أن تكون كلتيهما صورة. الحل أ- أن تكون األولى صورة والثانية كتابة أن وجود الواو هنا يعني الضرب وحيث أن الحدثان مستقالن )ألن نتيجة القطعة األولى ال تؤثر على نتيجة القطعة الثانية( فإن: P( A B) P( A) P( B) وذلك على اعتبار أن تمثل A ظهور صورة في القطعة األولى وتمثل B ظهور كتابة في القطعة الثاني: فإن: P ( A) P ( B) و P ( A B) 4 ب- احتمال أن تكون كلتاهما صورة وهذا يعني أن األولى صورة والثانية صورة ويمكن A و B الرمز إلى الحدث األول للحدث الثانية وحيث أن الحدثين مستقالن فإن: بالرمز P( A B) P( A) P( B) P ( A) P ( B) P ( A B) 4 وحيث أن: فإن: مثال : الجدول التالي يمثل توزيع عدد من السيارات حسب النوع والقدم كما يلي: جديدة مستعملة المجموع النوع األول النوع الثاني النوع الثالث المجموع سحبنا سيارتان مع اإلرجاع )أي مع إرجاع األولى قبل سحب الثانية( بطريقة عشوائية أحسب االحتماالت التالية: 58

59 أن تكون كلتيهما من النوع الثاني أن تكون كلتيهما جديدة أن تكون كلتيهما من النوع نفسه الحل أن تكون كلتاهما من النوع الثاني تعني أن السيارة األولى من النوع الثاني و السيارة الثانية من النوع الثاني. وحيث أنهما حدثان مستقالن ( ألن السحب مع اإلرجاع( فإن: - P( A B) P( A) P( B) P ( A) P ( B) و P ( A B) وحيث أن: وعلية فإن: أن تكىىون كلتاهمىىا جديىىدة أي أن السىىيارة األولىىى جديىىدة والثانيىىة جديىىدة وحيىىث أنهمىىا حىىدثان مستقالن )ألن السحب مع اإلرجاع( فإن: P P( A B) P( A) P( B) P ( A) P ( B) و P ( A B) وحيث أن: وعلية فإن: 3- أن تكون كلتاهما من النوع نفسه أي أن أن تكون السيارة األولى من النوع األول والسيارة الثاني من النوع األول أو أن تكون السيارة األولى من النوع الثاني والسيارة الثانية من النوع الثاني أو أن تكون السيارة األولى من النوع الثالث والسيارة الثانية من النوع الثالث ويمكن كتابة الجمل السابقة على النحو التالي: P P( A) P( B) P( C) P( D) P( E) P( F) وعلية فإن: قانون الضرب لألحداث غير المستقلة )الحالة العامة(: حدثين غير مستقلين فإن احتمال حدوث األول والثاني )أي حدوثهما معا ( ويكتب: إذا كان B و A P( A B) P( A) P( B / A) P( A B) P( B) P( A/ B) أو 59

60 احتمال حدوث الحدث األول مضروب في احتمال حدوث الحدث الثاني بشرط حدوث الحدث األول أو حدوث الحدث الثاني مضروب في حدوث الحدث األول بشرط حدوث الحدث الثاني. وهذا يسمي قانون الضرب في الحالة العامة. والفرق الوحيد بين الحالة العامة وحالة الحوادث المستقلة هو أن نراعي تأثير الحدث األول على الثاني. مثال: في المثال السابق وبافتراض السحب بدون إرجاع )أي بدون إرجاع السيارة األولى إلى المجموعة قبل سحب السيارة الثانية(: أن تكون كلتيهما من النوع الثاني أن تكون كلتيهما جديدة أن تكون كلتيهما من النوع نفسه الحل وحيث أن: أن تكون كلتاهما من النوع الثاني تعني أن السيارة األولى من النوع الثاني و السيارة الثانيىة من النوع الثاني. وحيث أنهما حدثان غير مستقالن ( ألن السحب بدون إرجاع( فإن: وعلية فإن: P( A B) P( A) P( B / A) P ( A) P ( B) و P ( A B) أن تكون كلتاهما جديدة أي أن السيارة األولى جديدة والثانية جديىدة وحيىث أنهمىا حىدثان غيىر مستقالن )ألن السحب بدون إرجاع( فإن: وحيث أن: وعلية فإن: P( A B) P( A) P( B / A) P ( A) P ( B) و P ( A B) أن تكون كلتاهما من النوع نفسه أي أن أن تكون السيارة األولى من النوع األول والسيارة الثاني من النوع األول أو أن تكون السيارة األولى من النوع الثاني والسيارة الثانية من النوع الثاني أو أن تكون السيارة األولى من النوع الثالث والسيارة الثانية من النوع الثالث ويمكن كتابة الجمل السابقة بشكل التالي: وعلية فإن: P P( A) P( B / A) P( C) P( D/ C) P( E) P( F / E) 60

61 P

62 التوزيع الطبيعي )المعتدل( Normal Distributio يعتبر التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات االحتمالية في علم االحصاء ألنه يمثل كثيرا من الظواهر الطبيعية وغير الطبيعية التي تقابلنا في الحياة العملية مثل األطوال واألوزان واألعمار ودرجات الحرارة وضغط الدم ودرجات االمتحان وغيرها من الظواهر المتصلة. شكل منحني التوزيع يشبه الناقوس كما في الشكل التالي: خطأ! يعتمد تحديد منحني الطبيعي كليا على معلمتي الوسط الحسابي التباين.) واالنحراف المعياري )أو خصائص التوزيع: - التوزيع متماثل حول المتوسط الذي يقسم المنحني إلى قسمين متساويين. - المساحة الكلية تحت المنحني تساوي واحدا صحيحا. 3- منحنى التوزيع يقترب طرفاه أكثر فأكثر من المحور األفقي ولكن ال يمسه أو يقطعه أبدا. 4-68% من مساحة المنحني الطبيعي تقريبا تنحصر في الفترة إلى. 5-95% من مساحة المنحني الطبيعي تقريبا تنحصر في الفترة. 96 إلى % من مساحة المنحني الطبيعي تقريبا تنحصر في الفترة. 58 إلى يتم التعبير عن االحتمال )أو النسبة( في التوزيع الطبيعي بالمساحة. ونرمز للمتغير العشوائي الموزع توزيعا طبيعيا بالرمز X ~ N(, ) التوزيع الطبيعي القياسي )أو المعياري( Stadard ormal distributio يعتبر التوزيع الطبيعي المعياري حالة خاصة من التوزيع الطبيعي وذلك عندما يكون المتوسط صفر والتباين واحد صحيح ويكتب (0,)N ويمكن تحويل جميع التوزيعات الطبيعية إلية.حيث, وذلك بتحويل قيم المتغير تنطبق علية نفس االحتمال في الشكل السابق بعد وضع 0 X إلى المتغير Z حيث 6

63 Z X من الشكل السابق يمكن مالحظة أن غالبية قيم z تقع داخل الفترة )3-, 3(. أما القيمة االحتمالية ل Z فيتم إيجادها باستخدام الجداول اإلحصائية للتوزيع الطبيعي المعياري. فمثال إليجاد احتمال القيمة 0.5 نقوم بتعيين موقع القيمة 0.5 على العمود األيسر للجدول ومن ثم نجد الرقم الذي يقابله تحت 0.0 فنجده مساويا ل وهكذا. 5 مثال: إذا كان X يمثل توزيعا طبيعيا بمتوسط 50 االحتمال اآلتي: أ- 55) P( 50 x ب- 60) P( 55 x وبانحراف معياري والمطلوب إيجاد ج- 50) P( 45 x الحل Z نقوم بتحويل قيم X إلى قيم Z المعيارية باستخدام الصيغة: Z X أ- بالنسبة ل 55) P( 50 x وعند 55=x P( 50 x 55) P(0 Z ) وعليه فان: وبالرجوع الى جدول التوزيع الطبيعي المعياري نجد أن قيمة االحتمال )أو المساحة( بين الصفر والواحد هو Z Z ب- 60) P( 55 x P( 55 x 60) P( Z ) P( to ) =P(0 to)- P(0 to ) = = Z 5 P( 45 x 50) P( Z 0) = ج- 50) P( 45 x 63

64 توزيعا ت المعاينة Samplig Distributios. األهداف التعليمية: عندما ينتهي الطالب من د ارسة هذا الباب سيكون قاد ار على: معرفة المقصود بتوزيع المعاينة إلحصاء معين. تعريف وايجاد توزيع المعاينة لمتوسط العينة. شرح نظرية النهاية المركزية وأهميتها في االستدالل اإلحصائي. أيجاد توزيع المعاينة للنسبة في العينة. أيجاد توزيع المعاينة للفرق بين متوسطي عينتين. أيجاد توزيع المعاينة للفرق بين نسبتي عينيين من المعلوم أننا نعتمد على العينة في د ارسة خصائ المجتمع وهذا ما يسمي باالستدالل اإلحصائي. ومن األمور الهامة في هذا الصدد هو تحديد التوزيع االحتمالي الذي تتبعه بيانات العينة )أو-بمعني أدق- المجتمع المأخوذ منة العينة(. في بعم األحيان قد يكون من السهل تحديد هذا التوزيع االحتمالي ولكن تكون المشكلة هي أن معالم Parameters ذو الحدين ولكننا ال نعرف هذا التوزيع مجهولة. مثال ذلك قد نعلم أن بيانات معينة تتبع توزيع االحتماالت نعرف أن بيانات معينة تتبع التوزيع q و p التي تمثل معالم لهذا التوزيع. كذلك قد الطبيعي ولكننا ال نعرف قيم و الحالة يتعين علينا تحديد قيم المعالم باالعتماد على بيانات العينة. وفي هذه والمقاييس التي تحسب من بيانات العينة تسمى إحصاءات )أو توابع إحصائية( Statistics مثل الوسط الحسابي للعينة x آي تابع إحصائي تختلف من عينة ألخرل وتباين العينة. S ويالحظ أن قيمة ولذلك فيذا أردنا استخدام االستدالل اإلحصائي باالعتماد على هذا التابع فالبد من تحديد التوزيع االحتمالي لهذا التابع وهو ما يسمى بتوزيع المعاينة. توزيع المعاينة للتابع اإلحصائي هو التوزيع االحتمالي لهذا التابع اإلحصائي المسحوب لكل العينات الممكنة و المأخوذة من المجتمع اإلحصائي أيا كانت طريقة السحب )بإرجاع أو بدون إرجاع( وأيا كان حجم المجتمع )محدود أو غير محدود(. 64

65 توزيع المعاينة للوسط الحسابي للعينة Samplig distributio of the sample mea. إذا اختيرت كل العينات الممكنة ذات الحجم نفسه منها الوسط الحسابي من مجتمع ما حجمه N x و حسبنا لكل فيننا نحصل على جدول تك ارري يسمي توزيع المعاينة لمتوسطات العينات ويمكن مالحظة بعم الخصائ على هذا التوزيع:. إذا قمنا بحساب متوسط هذه المتوسطات نجد انه يساوي متوسط المجتمع: (4.) x. أيضا إذا قمنا بحساب االنح ارف المعياري لهذه المتوسطات نجد أنه المعياري للمجتمع اإلحصائي مقسوما على الجذر التربيعي لحجم العينة يساوي االنح ارف x (4.) و يجب مالحظة أن االنح ارف المعياري لتوزيع المعاينة للوسط x.3 المعياري للوسط( يكون أقل من االنح ارف المعياري للمجتمع اإلحصائي. توزيع المعاينة هذا يؤول الى التوزيع الطبيعي تقريبا يختلف عدد العينات الممكنة ذات الحجم فيذا كان السحب بيرجاع فان عدد العينات الممكنة هو أي: )أو ما يسمى بالخطأ باختالف نوعية السحب )بيرجاع أو بدون إرجاع( N N أما إذا كان السحب بدون إرجاع فان عدد العينات الممكنة هو. المعادلة (4.) صحيحة عندما يكون السحب مع اإلرجاع أيا كان حجم المجتمع )محدود أو غير محدود( و كذلك إذا كان المجتمع غير محدود أيا كانت طريقة السحب )بيرجاع أو بدون إرجاع(. أما إذا كان المجتمع محدود و السحب بدون إرجاع فيننا نضرب المقدار السابق في معامل التصحيح فيصبح الخطأ المعياري كما يلي: x N N (4.3) معامل التصحيح يقترب من الواحد الصحيح كلما كبر حجم المجتمع N مقارنة بحجم العينة. مثال (4.) مجتمع يتكون من ثالث قيم, 4, 6 سحبت كل العينات الممكنة التي حجمها أحسب ما يلي: ( الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط )متوسط المتوسطات( ( االنح ارف المعياري لتوزيع المعاينة للوسط )الخطأ المعياري للوسط( الحل 65

66 ( متوسط المتوسطات x N حيث متوسط المجتمع إذا كان السحب مع اإلرجاع فين عدد العينات الممكنة و تساوي في هذا المثال 3 9 التالي و الجدول يمثل العينات الممكنة ومتوسطاتها: 6,6 6,4 6, 4,6 4,4 4,,6,4, العينات المتوسطات يبين الجدول أعاله جميع العينات الممكنة ومتوسطاتها إذا كان السحب مع اإلرجاع المجموع 36 نجد أن: إذا N x x إذا كان السحب بدون إرجاع فين عدد العينات الممكنة و في هذا المثال 3 3! 3!(3 )! والجدول التالي يمثل العينات الممكنة و متوسطاتها 6, 4,6,4 العينات المتوسطات يبين الجدول جميع العينات الممكنة ومتوسطاتها المجموع إذا كان السحب بدون إرجاع x x

67 ( االنح ارف المعياري لتوزيع المعاينة للوسط )الخطأ المعياري( إذا كان السحب مع اإلرجاع فان الخطأ المعياري يعطي بالمعادلة التالية x نحسب االنح ارف المعياري للمجتمع كما يلي: N x x N إذا الخطأ المعياري يساوي: إذا x.63.5 كان السحب بدون إرجاع وحيث أن المجتمع محدود فيننا نضرب في معامل التصحيح فيكون الخطأ المعياري للوسط كما يلي : x x.63 N N نظرية النهاية المركزية The cetral limit theorem x تعتبر نظرية النهاية المركزية من أهم النظريات في علم اإلحصاء و تعطي توزيع المعاينة للوسط و تعرف كما يلي: مجتمع ما له الوسط الحسابي و االنح ارف المعياري, سحبت كل العينات الممكنة ذات الحجم من هذا المجتمع, فإن توزيع المعاينة للوسط x وانح ارف معياري عندما يكون حجم العينة كبير بدرجة كافية. يكون تقريبا توزيع طبيعي بمتوسط نظرية النهاية المركزية تؤكد انه بمعاينة مجتمع غير طبيعي سوف نحصل على النتائج نفسها التي تقريبا كبير بدرجة كافية. نحصل عليها عندما تكون المعاينة من مجتمع طبيعي بشرط آن يكون حجم العينة 67

68 مثال.4 افترم أن متوسط سرعة الكتابة على اآللة الكاتبة لموظفي السكرتارية يساوي الدقيقة بانح ارف معياري قدرة 40 0 كلمات في الدقيقة. إذا كانت عينة عشوائية من 5 سكرتي ار أوجد القيمة المتوقعة الحل x والخطأ المعياري للمتغير كلمة في تشير الى متوسط السرعة ألية. x القيمة المتوقعة هي الوسط الحسابي ومن المعلوم أن الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط هو: 40 x من السؤال نجد أن متوسط الكتابة على اآللة الكاتبة لموظفي السكرتارية هو 40 الخطأ المعياري للمتغير كلمة في الدقيقة 40 x هو x x x 0 5 توزيع المعاينة للنسبة Samplig distributio of the sample proportio )3 تظهر أهمية هذا التوزيع عندما يكون المجتمع اإلحصائي ذا صفتين أو خاصتين فقط مثال ذلك عند د ارسة إنتاج إحدل المصانع فان الوحدات المنتجة قد تكون سليمة أو معيبة. فيذا كان عدد الذين لديهم الصفة أو الخاصية محل الد ارسة هي نسبة الذين يتمتعون بهذه الصفة x في عينة حجمها كبير بدرجة كافية حيث: ˆp pˆ x إذا سحبنا كل العينات الممكنة ذات الحجم المتساوي توزيع المعاينة لص ومن ثم حسبنا لكل عينة النسبة pˆ pˆ )4.4( )وهذا يعني معياري قدرة: يقترب من التوزيع الطبيعي بمتوسط قدرة: P pˆ أن الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للنسبة pˆ هو النسبة في المجتمع فان فان ) P و خطأ pˆ P( P) )4.5( 68

69 و لكن عندما يكون حجم المجتمع ليس كبير )محدود( بالمقارنة بحجم العينة في معامل التصحيح فيجب الضرب p ˆ P( P) N N )4.6( مالحظة:. ( P) 5 P 5 نقصد بان حجم العينة كبير بدرجة كافية أي يجب آن يكون و مثال 3.4 إذا كانت نسبة المعيب في إنتاج إحدى الماكينات هو %0 سحبت عينة عشوائية مكونة من 50 وحدة. أحسب احتمال أن يكون بها نسبة معيب قدرها 5% وأقل. الحل سوف يكون تقريبا ˆp عندما يكون حجم العينة كبير فان التوزيع االحتمالي للنسبة في العينة التوزيع الطبيعي بمتوسط P pˆ pˆ pˆ pˆ 0.0 pˆ P( P) P( pˆ 0.05) P( Z P( Z ) P( Z ) 0.04 P( Z.9) 0.7 و انحراف معياري و احتمال أن يكون نسبة المعيب 5% pˆ P ) P( P) 69

70 3-4 توزيع المعاينة للفرق بين متوسطي عينتين مستقلتين Samplig distributio of the differece betwee two sample meas عندما يكون الهدف معرفة توزيع الفرق بين متوسطي مجتمعين مستقلين فإننا نستخدم توزيع المعاينة للفرق بين متوسطي عينتين. أفترض أن لدينا مجتمعين مستقلين متوسط كل منهما على الترتيب. مثال ذلك قد يكون المجتمع األول أطوال و وتباين كل منهما و المسامير المنتجة لدى أحد المصانع و المجتمع الثاني أطوال المسامير المنتجة لدى مصنع أخر. x وعينة عشوائية حجمها من المجتمع األول وكان متوسطها أخذنا عينة عشوائية حجمها. x لمعرفة الوسط الحسابي واالنحراف المعياري من المجتمع الثاني و كان متوسطها لتوزيع المعاينة للفرق بين وسطي العينتين فإننا نفرق بين عدة حاالت. أوال: الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للفرق بين وسطي عينتين: x x أي أن توزيع المعاينة للفرق بين متوسطي عينتين هو الفرق بين متوسطي المجتمعين. ثانيا: االنحراف المعياري لتوزيع المعاينة للفرق بين وسطي عينتين يختلف حساب االنحراف المعياري لتوزيع المعاينة للفرق بين وسطي عينتين بحسب معلومية تباين المجتمعين وحجم العينتين كما يلي:. في حالة معرفة تباين المجتمعين الموزعين توزيعا طبيعيا إذا كان تبايني المجتمعين و معلومين والمجتمعين طبيعيين فان الفرق بين متوسط العينتين x يكون له توزيع طبيعي بانحرافه المعياري )الخطأ المعياري( x x x وأن اإلحصائية تتوزع توزيعا طبيعيا معياريا كالتالي: Z ( x x ) ( ) في حالة عدم معرفة تبايني المجتمعين إذا كان تبايني المجتمعين مجهولين فإننا نميز بين حالتين:. I. حجم العينتين كبير 70

71 إذا كان حجم كل من العينتان أكبر من أو يساوي 30 فان الفرق بين متوسطي العينتين x يتبع التوزيع الطبيعي بانحراف معياري: x S S x x و يكون التوزيع االحتمالي كالتالي: Z ( x x ) ( ) S S حجم العينتين صغير إذا كان حجم العينتان صغير )واحدة او كالهما أقل من 30( والمجتمعين يتوزعان x x يتبع توزيع الطبيعي توزيعا طبيعيا فان الفرق بين متوسطي العينتين بانحراف معياري:.II x x S S ويكون التوزيع االحتمالي كالتالي: Z ( x x ) ( ) S S S S حيث S تدعي التباين المشترك لتبايني العينتان و وتحسب كالتالي: S ( ) S ( ) S وكانت وأخذت عينة من. P x x N(6,0.3) ( مثال 4.4 إذا كانت أطوال المسامير التي ينتجها إحدى المصانع تتبع توزيع طبيعي أطوال المسامير التي ينتجها مصنع أخر تخضع لتوزيع طبيعي المصنع األول حجمها 0 وعينة من المصنع الثاني حجمها 0 أوجد الحل الفرق بين متوسطي العينتين يتبع توزيع طبيعي ب N(5,0.5) 0.75) 7

72 x x N(, ) وعلية نستخدم الصيغة التالية: P( x x ( x Z x ) ( ) ( x x ) ) P P x x 0.75) P( Z.5) ( توزيع المعاينة للفرق بين نسبتي عينتين Samplig distributio of the differece betwee two sample proportios N و مسحوبتين من مجتمعين حجمهما و أفترض أن لدينا عينتين مستقلتين حجمها X في المجتمع األول وعدد العناصر التي N وعدد العناصر التي تتميز بخاصية معينة تتميز بنفس الخاصية في المجتمع الثاني. فان نسبة الخاصية في المجتمع األول تساوي X P N X وكذلك نسبة الخاصية في المجتمع الثاني يساوي. عندما يكون حجم pˆ p ˆ X P N كبيرتين فان توزيع المعاينة للفرق بين نسبتي العينتين و العينتين التوزيع الطبيعي بمتوسط يقترب من pˆ pˆ P P وانحراف معياري )خطأ معياري( pˆ pˆ P ( P ) P ( P ) وبذلك تكون صيغة التوزيع للفرق بين نسبتين هي: Z ( pˆ pˆ ) ( P P ( P ) P ( P ) P ) 7

73 مثال )5.4( يدعي أحد الباحثين بأن 30% من البيوت في الحي A و 0% من البيوت في الحي B تحتوي على األقل طفل واحد. سحبت عينتين عشوائيتين حجمهما 00 من كل حي فوجدت النتائج التالية: pˆ A 0.34 pˆ B 0.3 ما هو احتمال الحصول على فرق بهذا الحجم أو أكبر إذا كان االدعاء صحيح الحل pˆ ˆ A p B عندما يكون االدعاء صحيح فان توزيع المعاينة للفرق الطبيعي بمتوسط سيقترب من التوزيع pa ˆ pˆ B pa ˆ pˆ B وخطأ معياري pˆ A pˆ B Z الفرق بين نسبتي العينتين وبالكشف في جدول التوزيع الطبيعي المعياري عن Z.83 نجد المساحة المقابلة هي ولكن هذه المساحة بين الصفر و.83 و نحن نريد المساحة على اليمين من لذلك المساحة أو االحتمال المطلوب هو

74 أ- تقدير فترة ثقة لمتوسط مجتمع تقدير معالم المجتمع إن غرضنا هنا هو عمل استدالل حول قيم المعالم )غير معروفة( ارتكازا على إحصائيات )توابع إحصائية( يتم حسابها من عينة. إن المعالم التي تعنينا قد تتضمن الوسط الحسابي للمجتمع أو التباين, أو ذلك الجزء من أفراد المجتمع الذين يمتلكون بعض الخواص المحددة )النسبة في المجتمع(. وكمثال فقد نرغب في عمل استدالالت حول ما يلي:- متوسط الدخل للعائالت في حي معين. تباين ارباح الشركات العاملة في أحدى القطاعات الصناعية. نسبة الطالب المدخنين في جامعة ما. بالنسبة للمثال األول, إذا تم حساب متوسط الدخل من عينة من العائالت فإن هذا المتوسط يوفر تقدير بنقطة للوسط الحسابي للمجتمع. إن التقدير بنقطة للمعلمة هو إحصاءه أو قيمة فردية تم حسابها من مفردات عينة يتم استخدامها لتقدير قيمة المعلمة المستهدفة. ما مدى درجة االعتماد على التقدير بنقطة لمعلمه ما لكي يصبح االستدالل عن معلمه عمليا وذا معنى بشكل صحيح ( مثال تقدير قيمة الحقيقية( فإنه ال يجب أن يتكون فقط من التقدير بنقطة, بل وأن يكون مصحوبا أيضا بقياس اعتمادية التقدير أي أن يكون بمقدورنا أن نبين المدى الذي قد يصبح فيه تقديرنا قريبا من القيمة الحقيقية لمعلمه المجتمع. ويمكن عمل ذلك باستخدام خصائص توزيع المعاينة لإلحصاءه الذي تم استخدامه للحصول على التقدير بنقطة. نظرية النهاية المركزية:- إذا أخذنا عينة حجمها من مجتمع له متوسط وانحراف معياري وكان المتغير العشوائي x الممكنة المختار ذات الحجم نفسه لمتوسطات جميع العينات x فإن المتغير العشوائي له الخصائص التالية: / ( يكون له )تقريبا ( التوزيع الطبيعي المعياري اذا كانت 30 مهما كان توزيع المجتمع. ( يكون له )تماما( التوزيع الطبيعي المعياري اذا كان توزيع المجتمع طبيعيا مهما كان حجم العينة. 74

75 الحالة االولى: عندما تكون قيمة " " معلومة مثال : افترض أن زمن تجميع مكونات كهربائية محددة تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 7 وانحراف معياري 3 دقيقة ماذا يحدث إذا كانت مجهولة لكل العاملين تم الحصول على عينة من أوقات التجميع )زمن التجميع بالدقائق( لعينة عشوائية تتكون من 5 عامال :.8, 9.3, 7., 30., 4.0, 3.,.9, 30.3, 7., 3., 7.0, 3.0, 8.6, 4., 8.9, 6.8, 6.6, 3.4, 5., 6.6, 5.7, 8., 3.5, 4.8, 5. باستخدام وبناء على هذه البيانات يمكن الحصول على تقدير لمتوسط المجتمع متوسط العينة x كما يلي: x الث ما مدى دقة التقدير المشتق للوسط الحسابي للمجتمع تعتمد الدقة على حجم العينة من ناحية أولى. ويمكننا قياس دقة هذا التقدير بإنشاء فترة ثقة, وعن طريق فترة الثقة يمكن القول م " أنا واثق بنسبة %95 من أن متوسط زمن التجميع هو بين 5.7 دقيقة و 8. دقيقة في هذا المثال تسمى ( 5.7 ويبين النقاش التالي مثال على أيجاد µ و ) 8. فترة ثقة %95 للمتوسط المجتمع هذا الفترة. تذكر أنه اذا كان المجتمع الذي تأخذ منه العينات هو مجتمع طبيعي, فان x له توزيع طبيعي ( حالة خاصة من نظرة النهاية المركزية ) المتغير العشوائي بمتوسط حسابي: x x وانحراف المعياري : حيث تمثل µ و σ الوسط الحسابي واالنحراف المعياري للمجتمع. لجعل قيمة x معيارية نقوم بطرح متوسط قيم x يأ) الوسط الحسابي لتوزيع المعاينة للوسط( ونقسم على االنحراف المعياري للقيم x )أي االنحراف المعياري لتوزيع المعاينة للوسط(. وعليه فان : x Z / هو متغير معياري طبيعي. أدرس اإلفادة التالية وانظر الشكل التالي: 75

76 P (.96 Z.96) 0.95 أي أن x P(.96.96) 0.95 بعد استخدام بعض العمليات الجبرية وأعاده ترتيب العناصر نحصل على التالي: P( x.96 x.96 ) 0.95 كيف يتم تطبيق المعادلة السابقة على متوسط عينة ما تأمل فترة الثقة ) 3.( ( x.96, x.96 ) باستخدام بيانات مثال زمن التجميع لدينا: x و 6.9 و 3 5 فان فترة الثقة % 95 3 ( , ) 5 أو (5.7,8.08) مجهولة عليه فإننا ال نعرف ما إذا كانت تقع بين 5.7 دقيقة و 8.08 دقيقة أو ال. ولكننا لو تحصلنا على عينات عشوائية بصورة متكررة ثم حسبنا x لكل عينة وحددنا فترات الثقة باستخدام المعادلة )3.(, فإن %95 من هذه الفترات سوف تحتوي على µ أما %5 فلن. لهذا السبب فإن المعادلة )3.( تدعى فترة ثقة %95. وباستخدام مثال زمن التجميع فإننا نكون واثقين بنسبة %95 بأن زمن التجميع للمتوسط يقع بين 5.7 دقيقة و 8.08 دقيقة. نفترض بانك تود إنشاء فترة تعتقد بأنها سوف تحتوي على µ بدرجة ثقة تختلف عن %95, وبكلمات أخرى فإنك تريد أن تختار مستوى ثقة غير إن درجة الثقة هو نسبة المرات التي تتضمن فيها فترة الثقة القيمة الحقيقية لمعالم المجتمع إذا تم استخدام إجراءات فترة الثقة بصورة متكررة للغاية لعدد كبير من المرات. 76

77 مالحظة:- Z a دع بحيث تكون المساحة التي تقع على يمين هذه القيمة Z تمثل قيمة. Z كيف يمكننا أن نحدد قيم aتساوي Z و Z و 0. )والتي تدعي معامالت الثقة( وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ا فإن معامالت الثقة هي Z 0.05 تكون درجة الثقة %( 95 و.96 )عندما Z 0.05 )عندما تكون درجة. 65 Z الثقة )% 90 و )عندما تكون درجة الثقة %80( وكلما كان مستوى الثقة عاليا كلما كانت فترة الثقة عريضة. ويكتب مستوى لفترة ثقة 00% ( ) الثقة كالتالي 0.05 لفترة ثقة %99, حيث 0.0 % 95 وهكذا. وعلية فان القانون المستخدم في هذه الحالة لتقدير الوسط الحسابي للمجتمع هو: ) 3.( x Z %90 و مثال: عينة من حدد فترة الثقة %99 لمتوسط زمن التجميع لكل العمال مستخدما ق ارءة لخمسة وعشرون عامال من المثال السابق. الحل 5 كان متوسط العينة الحسابي x 6.9 ويفترض أن االنحراف المعياري للمجتمع 3 دقائق 3 أن فترة الثقة %90 الناتجة لمتوسط المجتمع هي : Z الى = =7.89 الى 5.9 نحن على درجة ثقة %90 بان متوسط زمن التجميع لكل العمال لن يزيد عن دقيقة ولن يقل عن 5.9 دقيقة. %99 فترة ثقة لمتوسط المجتمع هي: 6.9 Z

78 الى الى =8.44 الى = 5.36 أننا واثقين بنسبة %99 بأن هذا المعلمة تقع بين 5.36 و 8.44 دقيقة ارتكازا على نتائج هذه العينة. الحظ أن عرض الفترة يزداد بزيادة درجة استخدام نفس بيانات العينة. الثقة عند الحالة الثانية: عندما تكون قيمة مجهولة. العينات الكبيرة في هذه الحالة نعتمد على بيانات العينة لحساب االنحراف المعياري للعينة كتقدير للقيمة. عندما يكون حجم العينة كبيرا ( 30 أو أكثر يعتبر حجما كبيرا ) فإن نظرية النهاية المركزية تتيح لنا أن نفيد بأن: x Z S له تقريبا توزيعا طبيعيا. أن ذلك ينوه بأنه يمكن اتباع اإلجراء السابق Z باستخدام توزيع مرة أخرى عند إحالل االنحراف المعياري للعينة محل قيمة وبشرط أن تكون العينة كبيرة. اذا قانون تقدير الوسط الحسابي للمجتمع في هذه الحالة هو: S ) 3.3( x Z S مثال:- تم استطالع أراء عينة تتكون من 7 طالب محاسبة لترتيب أهمية الخصائص لوظيفة محددة بمقياس من 5- حيث يكون ( ليس مهما ) و ( 5 مهما للغاية (. وفيما يختص ب " االمن الوظيفي " كان متوسط إجابات العينة 4.38 واالنحراف المعياري للعينة 0.70 أوجد فترة ثقة %99 لمتوسط المجتمع )جميع طالب المحاسبة(. الحل االنحراف المعياري للمجتمع مجهول ولكن حجم العينة أكبر من 30 وعليه فإن فترة الثقة لمتوسط المجتمع هو: x Z

79 الى = = =الى الى عليه فإن فترة ثقة %99 لمتوسط المجتمع يقع خالل الفترة 4.4 و 4.5 عليه نستطيع القول أن االمن الوظيفي هام للغاية لكافة طالب المحاسبة.. العينات الصغيرة تنشأ المشكلتان التاليتان مع العينات الصغيرة: ( حيث أن نظرية النهاية المركزية تنطبق على العينات الكبيرة فإننا ال نستطيع االفتراض بأن توزيع المعاينة ل x هو طبيعي تقريبا. وبالنسبة للعينات الصغيرة فإن توزيع المعاينة ل x يعتمد على شكل التوزيع التكرار النسبي للمجتمع الذي سحبت منه العينة. ( قد ال يكون االنحراف المعياري للعينة S تقريبا مرضيا لالنحراف المعياري للمجتمع إذا كان حجم العينة صغيرا لذلك فإن إحالل S محل في صيغة العينات الكبيرة )في المعادلة )3.3(( ليس مالئما. يمكننا لحسن الحظ االستمرار بأساليب التقدير استنادا على العينات الصغيرة إذا كان باستطاعتنا عمل االفتراض التالي: االفتراض المطلوب لتقدير ارتكازا على العينات الصغيرة أن يكون للمجتمع الذي يتم اختيار العينة منه توزيعا طبيعيا تقريبا. وإذا كان هذا االفتراض صحيحا فبإمكاننا أن نستخدم مرة أخرى x كتقدير نقطة لمتوسط المجتمع والشكل العام لفترة الثقة للعينة الصغيرة هي : x t S (3.4) حيث توزيع t مرتكزا على ( ( درجة من الحرية. وعندما نقارن ذلك مع فترة الثقة العينات الكبيرة لمتوسط المجتمع فإنك Z استيودنت " وبالتالي فإن علينا إحالل قيمة tسترى أن توزيع المعاينة التي ارتكزت عليها فترة الثقة تعرف باسم " توزيع المستخدمة في فترة الثقة للعينات t الكبيرة بقيمة 79

80 S التي نحصل عليها من توزيع تي.. وتحديىدا فىإن كالهمىا متماثىل وعلىى Z يشبه إلى حد كبيىر توزيىع tإن توزيع تفلطىح أكثىر. وأيضىا tشكل جرس وله متوسط حسابي يسىاوي صىفر. ولكىن توزيىع عنىد تقىدير (-) يعتمىد علىى قيمىة تىدعى درجىات الحريىة وتسىاوي ( t )فىإن توزيىع.( )المتوسط الحسابي للمجتمع ارتكازا على حجم العينة الصغيرة يمكننا أن نفكر في عدد من درجات الحرية كمقدار المعلومات المتوفرة لتقدير t الذي يعطي قيمة - t المجهولة. هناك جدول لتوزيع - باإلضافة إلى التي ولدرجات حرية في الطرف االيمن للتوزيع لقيم عديدة من تحدد مساحة tتتراوح بين و. 9 وبالنسبة للعينات الكبيرة ( درجات حرية كبيرة( فإن توزيع تكونان متساويتين تقريبا. Zوتوزيع مثال:- حدد موظف بإحدى الجامعات مسئول عن القبول لبرنامج الماجستير ال دارة االعمال أن المعدالت التراكمية للمرشحين للبرنامج تتوزع توزيعا طبيعيا وذلك من خالل فحص البيانات التاريخية. تم أخذ عينة عشوائية مكونه من 5 طلب للسنة الحالية وكان متوسطها.90 وبانحراف المعياري أوجد فترة ثقة %95 لمتوسط المجتمع ( لمتوسط المعدالت التراكمية لجميع الطلبات(. الحل حيث أن االنحراف المعياري للمجتمع غير معروف وحجم العينة صغير ( أقل من ) 30 عليه فإن فترة الثقة هي: x t(, ).90 t (0.05,4 ) الى = =.90 الى = =.74 =3.086 نحن على درجة ثقة %95 بان متوسط المعدالت التراكمية لجميع الطالب المتقدمين على الماجستير لن يقل عن.74 ولن يتجاوز تحديد حجم العينة لتقدير يكون في الغالب من مهام الباحث تحديد حجم العينة المطلوب وتتطلب هذه و x المهمة التحديد المسبق لدرجة الثقة المرغوبة وهامش الخطأ المقبول بين قيمتي. وفي الغالب يدعى هامش الخطأ أو خطأ التقدير "الخطأ المسموح" ليعكس انطباع متخذ القرار على تقبل وجود خطأ. 80

81 العناصر التي تحدد حجم العينة هي: x و الىذي يىتم قياسىه بواسىطة القيمىة المطلقىة للفىرق الفىرق بىين بينهما: x E هي مقدار خطأ تقدير أو الخطأ المسموح أو هامش الخطأEإن قيمة. درجة الثقة المحدد مسبقا ويقاس عن طريق يتم عمل واحد من االفتراضين التالين: المجتمع الذي نأخذ منه العينة مجتمع طبيعي. أو أن حجىم العينىة الىذي سىنأخذه سىيكون كبيىرا بمىا يكفىي بحيىث سيكون توزيع متوسط العينة طبيعيا أو قريب من الطبيعي. نستخدم المعادلة التالية لتحديد حجم العينة: Z E مثال:- نفتىىرض أن سىىجالت مصىىنع مىىا توضىىح أنىىه يىىتم إنتىىاج اطىىارات بحيىىث ان االنحراف المعياري للعمىر االفتراضىي لهىذه االطىارات يسىاوي 000 ميىل. افتىرض اآلن أنىىىك مىىىدير منطقىىىة وتىىىود الحصىىىول علىىىى تقىىىدير يعتمىىىد عليىىىه لمتوسىىىط العمىىىر االفتراضي لإلطارات التي ينتجها هذا المصنع. وأن تقديرك ذو خطأ ال يتجىاوز 500 ميل, وباحتمال ال يقل عن 0.90 ما هو حجم العينة الذي يجب أن نأخذه الحل 000, 0. 90, 0. 0, Z , E 500,? نستخدم الصيغة التالية لحساب حجم العينة. Z E E (000)(.65) E نقوم بتقريب الناتج إلى اقرب أكبر رقم صحيح لكي نكون واثقين بنسبة %90 بأن متوسط العمر االفتراضي المشاهد )للعينة( لإلطارات ال يختلف عن المتوسط الحقيقي )للمجتمع غير المعروف أصال ( لهذه الكفرات بأكثر من 500 ميل, فيجب أن تأخذ عينة عشوائية تتكون من 44 اطارا من المجتمع. الحظ أننا نتعامل مع مجتمع مستهدف كبير للغاية وال نهائي. لذلك من المهم أن نالحظ أن هذه العينة الصغيرة ( 44 اطارا ) كافية لتحقيق الخطأ المسموح المبين وكذلك أهداف الثقة حتى عندما يكون المجتمع مكونا من ماليين االطارات. 8

82 P ب- تقدير فترة ثقة للنسبة في مجتمع يمكننا أن نرمز للنسبة في العينة للنسبة الحقيقية في المجتمع pˆ فالنسبة في العينة. pˆ بالرمز x. P وعلى الرغم أن pˆ pˆ من القيمة الحقيقية لص P الفصل السابق. عند الحديث عن توزيعات توفر لنا تقدير عملي لص هي تقدير نقطة P ما مدل قرب لمعرفة ذلك يمكننا الرجوع إلى توزيع المعاينة للنسبة في العينة في إلى التوزيع الطبيعي. عدد م ارت إج ارء التجارب المستقلة 30( ) كال من ˆ p و ( pˆ) المعاينة قلنا أن هناك حاالت يمكن استخدام التقريب أكبر من أو تساوي. 5 عندما تتوافر هذه الشروط فانه يمكن التعبير عن اإلحصائية ومن الممكن التعبير عن ذلك باالحتمال التالي: Z Z pˆ P pˆ( pˆ) البد أن يكون ذات حجم كبير كما يلي: pˆ P P( Z Z ) pˆ( pˆ) ( و البد من التحقق بان كال من ˆ p و (ˆp تقريبا للنسبة في المجتمع P نستخدم العالقة التالية: تتجاوز القيمة. إلنشاء فترة ثقة 5 pˆ Z pˆ( pˆ) افترم أن مدير مثال: البطاقات االئتمانية ببنك لديه الرغبة في بالريام كبير التعرف على مدل إقبال طالب الجامعات على سوق البطاقات حيث أ ارد تقدير نسبه مستخدمي البطاقات االئتمانية بصورة منتظم بين طلبة الجامعات بالمملكة. وإلج ارء الد ارسة تم أختيار 46 طالبا بطريقة عشوائية من كل أنحاء الدولة حيث وجد أن هنالك االئتمانية بصورة منتظمة وعليه قرر المدير إنشاء فترة ثقة البطاقات االئتمانية من بين طالب الجامعات بالمملكة. الحل 5 %97 طالبا فقط يستخدمون البطاقات للنسبة الحقيقية لمستخدمي 8

83 الخطوة األولى: يجب التأكد بان كال من ˆ p و ( pˆ) تتجاوز القيمة. 5 5 pˆ و ( p ˆ) p ˆ Z الخطوة الثانية: الخطوة الثالثة: إنشاء فترة الثقة باستخدام العالقة التالية: pˆ( pˆ) pˆ Z (0.065)( 0.065) ( ) وعلية فان الحد األعلى لفترة الثقة هو: ( ) والحد األدنى لفترة الثقة هو: ( ) 0.05 ويمكن لمدير البطاقات االئتمانية أن يكون واثقة بنسبة %97 بان النسبة الحقيقية للطالب المستخدمين للبطاقات االئتمانية في المملكة لن يتجاوز %7.3 ولن يقل عن %5.. ويمكن القول بان ادعاء المدير هذا صحيح بسبب أن هذه الفت ارت )فت ارت الثقة( أنشئت باستخدام إج ارء بحيث أن الفت ارت تتضمن النسبة الحقيقية بنسبة %97. وأن النسبة المتدنية للمستخدمين الحاليين )على أساس توافر درجة عالية من الثقة( تفترم أن هناك قطاع ضخم من طلبة الجامعات الذين لم يحصلوا بعد على البطاقة االئتمانية ويمكن أستهدفهم. تحديد حجم العينة لتقدير P 83

84 غالبا ما يحتاج الباحثين إلى تحديد حجم العينة المطلوبة لتقدير P الثقة وهامش الخطأ. ويعبر عن هامش الخطأ )أو خطأ التقدير( E النقطة ˆp والنسبة الحقيقية P ويمكن كتابتها كالتالي: بمعلومية درجة بافت ارم على انه الفرق بين تقدير Z صيغة تحديد حجم العينة تتطلب )المحدد من خالل درجة الثقة( وتقدير مبدئي لص pˆ P E P معرفة قيمة خطأ التقدير E وقيمة معامل الثقة ويرمز له بالرمز * : P وعندما يكون لدينا بعم المعلومات السابقة أو االعتبا ارت النظرية Z E * * P ( P ) المتوافرة قبل سحب العينة عن P فيننا قد P لم يكن هنالك أسس معقولة ومقبولة لتحديد نحدد * قيمة P * P وسبب استخدام هذه القيمة انه يمكن توضيح أن المقدار التالي األقصى بين اعتمادا على الخبرة بناء على تلك المعلومات. وفيما لو قبل سحب العينة فيننا نجعل *. P =0.5 * P ( P * ) وذلك عندما 0.5 * P =0.5 يصل إلى الحد )وتستطيع التحقق من هذا باستخدام قيم مختلفة لص * P و 0 في المقدار التالي * P ( P * ) 0.5 فان هذه المعادلة سوف تحقق أقصي قيمة لص (. عندما نضع المعادلة ) * P ( P * P مساوية لص حجم العينة المطلوب وذلك لتأكيد أن خطأ التقدير يقع ضمن المدل المحدد وعلى األقل باستخدام درجة الثقة المحددة مهما كانت قيمة الحقيقية. عندما تحتوي قيمة حجم العينة المحسوبة بالمعادلة السابقة على هذه القيمة حتى نضمن بان درجة الثقة سوف تكون على األقل عملية تحديد حجم العينة.. كسر فيننا نقرب ويوضح المثال التالي مثال: يعتقد صاحب مصنع لألز ارر أن هنالك %5 منها معيب ما هو حجم العينة التي يتطلب سحبها حتى يكون خطأ التقدير أقل من 0.0 باحتمال مقداره 0.98 الحل, P * 0. 05, Z. 33 E 0.0 Z (0.05( 0.05))

85 حتى يمكنه القول وبدرجة ثقة %98 بان قيمة النسبة في العينة ال تتجاوز القيمة الحقيقية لنسبة األز ارر المعيبة في المجتمع بأكثر من % وبالتالي فهو يحتاج لعينة عشوائية بعدد 579 ز ار. P P ج- تقدير فترة ثقة للفرق بين نسبتي مجتمعين قد تركز المقارنة بين الفرق بين على مجتمعين نسبتي األعضاء الذين لديهم خاصية معينة لكل مجتمع. تقدير النقطة للفرق بين نسبتي مجتمعين هي ببساطة الفرق بين نسبتي العينتين وبالرغم من ذلك يجب للفرق. إنشاء فترة ثقة للفرق بين نسبتي المجتمعي حتى يمكن تقدير فترة على سبيل المثال افترم أن مدير اإلنتاج قام باختبار خطين تجميعيين مختلفين هنا قد يكون المدير لديه الرغبة في إيجاد الشروط الضرورية الالزمة فترة إلج ارء التقدير في مجتمع واحد الفصل السابق. الحقيقيتين "للنجاح" لمجتمعين. ودع الحقيقيتين على الترتيب. إذا كانت كال من الطبيعية ثقة مشابهة للفرق بين نسبتي اإلنتاج المعيب للخطين. لتلك على سبيل المثال الش روط أعتبر أن الخاصة بينشاء فترة P P و pˆ x و pˆ x و إلنشاء فترة ثقة لص أكبر من أو تساوي 30 تمثل تقدير نقطة فمن الممكن استخدام قيمة الثقة إن للنسبة تمثل النسبتين Z فيننا نعرف الرموز التالية: P P pˆ x P P x x احتمال )نسبة( النجاح في المجتمع األول احتمال )نسبة( النجاح في المجتمع الثاني حجم العينة المسحوبة من المجتمع األول )عدد م ارت إج ارء التجربة( حجم العينة المسحوبة من المجتمع الثاني )عدد م ارت إج ارء التجربة( للنسبتين المعيارية عدد م ارت النجاح من عدد م ارت إج ارء التجربة )عدد األعضاء الذين يتمتعون بصفة معينة( للعينة من المجتمع األول عدد م ارت النجاح من عدد م ارت إج ارء بصفة معينة( للعينة من المجتمع الثاني تقدير نقطة لص المجتمع األول( تقدير نقطة لص P pˆ x المجتمع األول( P التجربة )عدد األعضاء الذين يتمتعون )نسبة الذين يتمتعون بصفة معينة في العينة المسحوبة من )نسبة الذين يتمتعون بصفة معينة في العينة المسحوبة من 85

86 Z وقيمة اإلحصاءه Z إلنشاء فترة ثقة ل P P pˆ ) ( P pˆ ( pˆ ) هي: ( pˆ pˆ ˆ ( p) P ) وعلية فان فترة ثقة لتقدير P P تحسب بالصيغة: ( pˆ ˆ p ) Z pˆ ˆ ( p) pˆ ( pˆ ) مثال: لسنوات عدة هنالك واحدة من السلوك التنظيمي تركز على المدير الرجل وهي أخالقيات صنع الم أرة مجال الوظائف اإلدارية بأرقام المديرين من كال الد ارسات كان هنالك أخالقيا بينما أجاب الموضوعات التي درست الق ارر اإلداري. فقبل العام الن المجال اإلداري كان محصو ار على الرجال الجنسين الرجال والنساء 9 من من 60 كبيرة ويعكف الباحثون بعمق من قبل واضعي نظريات 980 م كانت هذه الد ارسات فقط بينما حاليا دخلت على د ارسة مدل االختالف بين من ناحية أد ارك أخالقيات صنع الق ارر. مديرة أجابت على أن إخفاء أخطاء مدي ار بيجابة مماثلة ( وفي إحدل العمل كان عمال غير Joural of Busiess.)Ethics, Aug 989 كون تقدير نقطة للفرق بين نسبتي المديرين الذكور واإلناث الذين يعتقدون بان إخفاء أخطاء العمل يعتبر عمال غير أخالقي ومن ثم إنشاء النسبتين. لتقدير نقطة لص P P وعلية فان تقدير النقطة لص بدرجة ثقة فيننا نستخدم الفرق 0.9 %95 فترة ثقة للفرق وهل هناك فرق حقيقي بين الحل بين نسبتي العينتين المناظرتين حيث أن: p ˆ p ˆ هو P P pˆ p ˆ = = إلنشاء فترة الثقة وعليه ف ني نستخدم معامل الثقة Z فترة الثقة تكون على النحو التالي: )من جدول التوزيع الطبيعي المعياري( 86

87 P P بدرجة ثقة ( pˆ pˆ ) Z pˆ ˆ ( p) pˆ ( pˆ 0.9(0.08) 0.60(0.40) ( ) ( وعلية يمكن القول أن هذه الفترة المقدرة تتضمن ) أو )0.85 %95. ويتضح أن هناك بين يعتقدون بان إخفاء أخطاء العمل يعتبر عمال غير أخالقي. %8.5 و %35.5 مديرين إناث أكثر من المديرين الذكور الذين وبما أن الحدين األدنى واألعلى لفترة الثقة بالموجب علية فان هناك فرق حقيقي بين نسبتي النساء والرجال بالنسبة اخفاء أخطاء العمل كعمل غير اخالقي. 87

88 تقدير د- فترة ثقة للفرق بين متوسطي مجتمعين مستقلين فصصي العديصصد مصصن الحصصاالت تتطلصصب مقارنصصة مجتمعصصين قيصصاس الفصصرق بصصين متوسصصطي المجتمعصصين. هصصل متوسطا المجتمعان مختلفان عن بعضهما البعم أم أنهما متساويان واذا كانا مختلفين فما هصو مقدار هذا الفرق فيما يلي بعم األمثلة: - ترغصصصب أحصصصدل الشصصصركات فصصصي اسصصصتخدام برنصصصامج تصصصدريب جديصصصد لعمصصصال خصصصط التجميصصصع لتقصصصدير متوسط الفرق في زمن التجميع بين البرنامج الجديد والبرنامج الحالي. يرغصب مسصتثمر فصي أن تكصون محفظصة أو ارقصة الماليصة متنوعصة دوليصا ويقصارن بصين متوسصطي العائد من االستثمار في سوقين أجنبيين من االسواق المالية. ترغب شركة صانعة للمصواد البالسصتيكية فصي مقارنصة متوسصط عصدد الوحصدات المعصادة لصبعم أنواع المواد من موردين مختلفين. إن الخطصصصوات األساسصصصية التصصصي سنسصصصتخدمها النشصصصاء فتصصصرة ثقصصصة للفصصصرق بصصصين متوسصصصطين مماثلصصصة لتلصصصك المستخدمة في الحصول على تقدير فترة ثقة لمتوسط مجتمع واحد. ولكن هنصاك بعصم االخصتالف والمواضيع التي تنشأ والتي تحتاج للتوضيح. هل قيم تباين المجتمعين معروفة أم غير معروفة سندرس ثالث حاالت: الحالة االولي: قيمتا االنح ارف المعياري للمجتمعين معروفتين. الحالة الثانية: قيمتصا االنحص ارف المعيصاري للمجتمعصين غيصر معصروفتين ولكصن يفتصرم أنهصا متساويتين. الحالة الثالثة: قيمتصا االنحص ارف المعيصاري للمجتمعصين غيصر معصروفتين ولكصن يفتصرم أنهصا غير متساويتين. ما هي االفت ارضات حصول توزيصع المجتمعصات التصي تسصحب منهصا العينصات وهصل يجصب أن تسصحب العينصات مصن توزيصع طبيعصي أو مصن توزيصع طبيعصي تقريبصا هصل هنصاك حصدود لحجصم العينة هل يمكن استخدام إحصاءة Z المعيارية الطبيعية دائما....3 الحالة االولي: عندما يكون االنح ارف المعياري للمجتمعين معروفين و 88

89 عندما تكون قيمتصا و كلتاهمصا معصروفتين عنصدما تقريبا وعند أخذ عينتين عشوائيتن مستقلتين من المجتمعين للحصول على المعاينة لص يكصون المجتمعصين طبيعيصين أو طبيعيصين X X و X X سوف يكون طبيعيا أو طبيعيا تقريبا. االحصاءة Z توزيع فان تعطي بالصيغة االتية: ( X Z X ) ( ) وبصورة إضافية يمكن اإلفادة بما يلي: ( X X ) ( ) P Z Z من هذا المعادلة يمكن اشتقاق الصيغة التالي لتقدير فترة : ثقة لص ( X X ) Z مثال )(: ترغب شركة كبيرة لصصناعة الغصذاء فصي تحديصد كميصة مصادة كيميائيصة معينصة فصي شصحنات الغصذاء التصي تستلمها. وتم الطلب من مختبرين لهما سصمعة طيبصة تحليصل عينصات مصن الغصذاء. مصن المعصروف مصن الخبرة السابقة فيما يتعلق بمادة جزء في المليون بينما سيكون للمختبر من هذا النوع أن المختبر األول سيكون له انح ارف معياري مقداره الثاني انح ارف معياري مقداره جزء في المليصون وتصم تزويصد المختبصر االول بعصدد عينصة للغصذاء بينمصا تصم تزويصد المختبصر الثصاني بعصدد 5 عينصصصة. وكصصصان المتوسصصصط الصصصذي حصصصصل عليصصصه المختبصصصر األول هصصصو 0.06 جصصصزء فصصصي المليصصصون والمتوسط الذي حصصل عليصه المختبصر الثصاني هصو 0.76 جصزء فصي المليصون. أوجصد فتصرة ثقصة بنسصبة %98 للفرق بين متوسطي مجتمعي المختبرين. افترم أن كال قياسات المختبرين تتبعان التوزيع الطبيعي. الحل الخطوة )(: تحديد الصيغة التي سيتم استخدامها. بما ان االنح ارف المعياري للمجتمعين معروفين فاننا نستخدم الصيغة االتية: 89

90 ( X X ) Z Z أسصصصصصتخ ارج القيمصصصصصة المعياريصصصصصة مصصصصصن جصصصصصدول التوزيصصصصصع الطبيعصصصصصي المعيصصصصصاري وهصصصصصو الخطصصصصصوة )(: الحدين األعلى واألدنى لفترة الثقة: Z الخطوة )3(: حساب ( ).36 (0.003) (0.005) 5 ( , ) إننصا واثقصون بنسصبة %98 بصأن الفتصرة مصن إلصى تتضصمن الفصرق الحقيقي بين المختبرين في تحديد متوسط كمية المادة الكيميائية المحددة التي وجدت في الغذاء. التفسير العملي: إذا كان من الممكن االعتماد على المختبرين فيجب أن يكون هناك اتفاق إحصائي بين نتائج االختبار. ويعني ذلك أن فترة الثقة يجب أن تتضمن القيمة صفر )ال يوجد فرق أساسي في نتائج الوسط الحقيقي(. ولكن في هذه الحالة فين الحدين األعلى واألدني سالبين وفترة الثقة ال تتضمن القيمة صفر )ال فرق بين الوسطين(. إن غياب الصفر بين المختبرين. وفي واقع األمر بما أننا واثقون بنسبة فترة الثقة عن للفرق وحيث أن الصفر ال يوجد في الفترة فيننا سنكون واثقين بنسبة المختبرين ال يتفقان وأن المختبر الغذاء أي وسيكون لهذا االختالف الثاني وجود اتفاق عدم يشير إلى %98 بأن الفترة تتضمن القيمة الحقيقية يعطي تقدي ار أعلى لكمية المادة الكيميائية تبعات عملية واضحة إذا ثبت أن المادة %98 على األقل بأن تمثل ا خطر الموجودة في على الصحة بمستوي يزيد على 0.06 جزء في المليون حيث أن المختبر األول سيشير في هذه الحالة إلى عدم وجود خطر على الصحة بينما سيشير المختبر الثاني إلى أن هناك خطر على الصحة. المختبرين يمكن االعتماد الضرورية التي تضمن الدقة والتوافق إلعادة الثقة. على نتائجة من المهم للمختبرين د ارسة االختالف وعمل التغيي ارت الحالة الثانية: عندما تكون قيمتا و عندما تكون قيمتا االنح ارف المعياري للمجتمعين باالفت ارم أن قيمتهما متساويتان فمن الممكن حساب فترة غير معروفتين ولكن يفترض أنهما متساويتان غير معروفتين ولكن هناك معلومات تسمح لنا الثقة لص. ولكن قيمتا 90

91 S S االنح ارف المعياري للعينتين تحل محل و و على التوالي. وبالتالي يمكن تعديل اإلج ارء الذي تم وصفه في الحالة أعاله. األولى يلي ذلك أن بافت ارم أن االنح ارف المعياري المشترك فيننا نفترم أن هو انح ارف معياري مشترك. يمكصن دمجهمصا أي أننا بافت ارضنا أن في تقدير واحد مشترك نقصوم بصيحالل S ( ) S ( ) S S مكصان كصال مصن S و ونفتصرم أن المجتمعصين طبيعيصان أو طبيعيصان تقريبصا فيمكننصصصا أن نسصصصتخدم إحصصصصاءة Z أو إحصصصصاءة T سصصصتيودنت لحسصصصاب حصصصدا الثقصصصة األعلصصصى واألدنصصصى. سوف نصيغ أوال التعابير لحالة العينات الكبيرة ثم لحالة العينات الصغيرة. العينات الكبيرة Z فين عندما تكون 30 االحصاءة التالية تكون مالئمة: ( X Z X ) ( ) S S وبحساب إحصاءة Z بهذه الطريقة يمكن استخدامها. اليجاد حدا الثقة التقريبيصة لصص وفترة الثقة هي: ( X X ) Z S S مثال )(: تم إج ارء د ارسة جامعية لتحديد ما إذا كانت ملكية السيارة محددة لتحقيق اإلنجاز األكاديمي. بنيت الد ارسة على عينتين عشوائيتين من 0 طالبا. كان متوسط المعدالت التركمية للطالب الص 9

92 0 الذين ال يملكون سيا ارت هو.75 بتباين يعادل 0.36 بينما متوسط المعدالت التركمية للطالب الص 0 الذين يملكون سيا ارت.5 بتباين أوجد فترة ثقة بنسبة %90 للفرق بين متوسطي المعدالت التركمية للطالب مالكي السيا ارت مقابل الطالب الذين ال يملكون سيا ارت. افترم أن معدالت الطالب الت اركية تتبع توزيعا طبيعيا وأن تبايني المعدالت الت اركمية للمجتمعين متساوية. الحل الخطوة )(: حدد الصيغة التي ستستخدم في الحل. حيث أن االنح ارف المعياري للمجتمعين )أو تبايني المجتمعين( غير معروفة ولكن يفترم أنها (30<38) عليه يجب أن نستخدم الصيغة التالية: متساوية وأن 30 ( X X ) Z S S Z الخطوة )(: أستخ ارج القيمة المعيارية من جدول التوزيع الطبيعي المعياري وهي Z الخطوة )3(: حساب االنح ارف المعياري المشترك للعينتين S S ( ) S ( ) S 9(0.36) 9(0.40) (.75.5).645 الخطوة )4(: حساب الحدين األعلى واألدنى لفترة الثقة: (0.664) 0 (0.664) ( إلى ) إننصصا واثقصصون بنسصصبة %90 بصصأن الفتصصرة مصصن إلصصى تتضصصمن الفصصرق الحقيقصصي متوسطي المعدالت الت اركمية للمجموعتين. بصصين التفسير العملي: 9

93 بما أن الحد األعلى موجب والحد األدنى سالب فين القيمة )صفر( مضمنة في الفترة. وحيصث أن الفصصصرق صصصصفر محصصصصور ضصصصمن هصصصذين الحصصصدين فمصصصن الممكصصصن أنصصصه ال يوجصصصد فصصصرق بصصصين متوسصصصطي المعصدالت التركميصصة للمجمصصوعتين وحيصصث أن معلومصصات العينتصين تقتصصرح إنصصه مصصن المحتمصصل أن يكصصون للمجمصوعتين متوسصطين متكصصافئين للمعصدالت الت اركميصة فهصصل تتخصذ بصصفتك مصصدي ار لهصذه الجامعصة مصصن اإلج ارءات ما تحد به من أمتالك الطالب سيا ارت حتى تحسن معدالت الطالب الت اركمية العينات الصغيرة عندما تكون حيث أن 30 فين إحصاءة t التالية تكون مالئمة: t v t ( X X S ) ( ) S v اليجاد حدا الثقة لص هو عدد درجصات الحريصة إلحصصاءة t. ويمكصن اسصتخدام هصذه اإلحصصاءة. ( X X ) t (, ) S S المثال )3(: يتم تقييم خطي إنتاج ينتجان نفصس نصوع السصلك %98 فتصرة ونريصد إيجصاد ثقصة للفصرق فصي متوسصط قصوة 8 9 السصلك للخطصين. سصحبت عينتصين مصن الخطصين و علصى التصوالي وقصد كصان متوسصط قصوة السصلك. 0 وانح ارفصصه المعيصصاري إلحصصد الخطصصين هصصو و وحصصدة علصصى التصصوالي والقصصيم المنصصاظرة للسصصلك فصصي.9 الخصصط الثصصاني هصصي.4 و وحصصدة علصصى التصصوالي. افتصص ارم أن مجتمعصصي قصصوة الشصصد مصصن خطصصي اإلنتاج لهما نفس التباين وأن كال المجتمعين موزعين توزيعا طبيعيا. الحل 30 الخطوة )(: تحديد الصيغة المناسبة طبقا للبيانات المتوفرة وحيصصث أن تبصصايني المجتمعصصين غيصصر معروفصصة ولكصصن يفتصصرم أنهصصا متسصصاوية وأن )30 < 5 (. عليه البد أن نستخدم الصيغة التالية: ( X X ) t (, ) S S 93

94 t ( 0.0,5).60 t(, ) تحدد وهي الخطوة )(: S. S (0.4).60 8(.) 7(.9) 9 8 الخطوة )3(: حساب االنح ارف المعياري المشترك (.009) (.009) 8 الخطوة )4(: احسب فترة الثقة (-3.94,.4) تصصم إنشصصاء الفتصصرة مصصن إلصصى.4 مصصن عمليصصة ينصصتج فيهصصا %98 مصصن عصصدد الفتصص ارت تتضصصمن الفصرق الحقيقصي بصين متوسصطي قصوة السصلك المنصتج بواسصطة خطصي اإلنتصاج. عليصه فيننصا واثقصون بنسصبة %98 بأن هذه الفترة تتضمن الفرق الحقيقي. التفسير العملي حيصث أن القيمصة صصفر محصصور ضصمن هصذين الحصدين فصين هنصاك دليصل إحصصائي علصى عصدم وجصود فصرق بصين متوسصطي قصوة األسصالك المنتجصة بواسصطة خطصي اإلنتصاج. وبنصاء علصى هصذه النتيجصة هصل هناك أي أساس لمعرفة أي خطي اإلنتاج يستحق جائزة ألنه ينتج أسالكا أقول الحالة الثالثة: عندما تكون قيم و غير معروفة ولكن يفترض أنها غير متساوية عنصصصدما تكصصصون قصصصيم االنحصصص ارف المعيصصصاري للمجتمعصصصين غيصصصر معروفصصصة فصصصين تسصتبدل S تسصصصتبدل S و فصي صصيغة التقصدير. وسصوف نسصتعرم التغييص ارت الالزمصة عنصدما تكصون قصيم االنحص ارف المعيصصصاري للمجتمعصصصين غيصصصر متسصصصاويتان فصصصي حالصصصة العينصصصات الكبيصصصرة وفصصصي حالصصصة العينصصصات الصصصصغيرة. وبسصصبب عصصدم أفتصص ارم ان قصصيم االنحصص ارف المعيصصاري للمجتمعصصين متسصصاويين فصصين اإلجصص ارء الصصذي تصصم وصفه مسبقا ليس قابال للتطبيق بشكل مباشر. العينات الكبيرة عندما تكون و 30 يمكن استخدام إحصاءة Z 30 فين إحصاءة Z التالية مالئمة: ( X Z X ) ( ) S S النشاء فترة ثقة لص 94

95 المثال )4( ( X X ) Z S S تصم اختبصار عصدد 50 اطصا ار مصن نصوعين مختلفصين مصن أنصواع االطصا ارت المشصهورة عالميصا وذلصك للتأكصد مصصن طصصول عمرهصصا االفت ارضصصي وذلصصك عصصن طريصصق تسصصجيل عصصدد األميصصال التصصي يبلصصى بعصصدها االطصصار وبالتصصالي يحتصصاج الصصى معالجصصة. والبيانصصات كمصصا يلصصي X 30,500.6 كصصم X 33,67.8 S,678.4, و. أوجد %90 فترة S 4,8.5. ثقة كصصم للفر ق الحقيقي بين متوسطي العمر ارت االفت ارضصي لنصوعي االطصا )الحصظ أن كصال حجمصي العينتصين كبيصر لدرجصة كافيصة أي أكبصر مصن 30 لتبرير افت ارم أن متوسطي العينتين موزعة طبيعيا أو طبيعيا تقريبا (. الخطوة )( ت: حدد الصيغة التي ستستخدم. قيم وحيث أن االنح ارف المعياري للمجتمعين الحل العينتين كبير فيجب علينا أن نستخدم الصيغة التالية: غير معروفة ولم ( X X ) Z S S يفترم أنهما متساويان وأن حجم. Z Z الخطوة )(: حدد قيمة وهي الخطوة )3(: حساب فترة الثقة ( 30, ,67.8) (-3067, -367) 4, يمكننصصصصا أن نكصصصصون واثقصصصصين بنسصصصصبة %98 بصصصصأن الفتصصصصرة مصصصصن 367 إلصصصصى 3067 كصصصصم يتضصصصصمن فصصصصرق المتوسطين الحقيقي في كيلومت ارت العمر االفت ارضي لنوعي االطا ارت. التفسير العملي إن الحدين سالبة دني وألا األعلى وعليه فين القيمة صفر ليست متضمنة في الفترة. إن ذلك يعني بأننا على ثقة عالية بأن أستهالك )بلي( االطارت ليس هو نفسه للنوعين. إن فترة الثقة هذا تقترح بأن عمر النوع الثاني من االطا ارت في المتوسط هو 3000 كصم أطصول مصن النصوع االول. إذا كصان السعر هو نفسه والضمان هو نفسه للنوعين فأيهما ستشتري العينات الصغيرة 95

96 t فصصصصصين إحصصصصصصاءة 30 إذا كانصصصصصت مالئمة: أو أو كالهمصصصصصا أصصصصصصغر مصصصصصن و التاليصصصصصة تكصصصصصون v t v ( X X ) ( ) S S حيصث v تمثصل عصدد درجصات الحريصة إلحصصاءة t ولتحديصد قيمصة فيننصا نختصار قيمصصة أو األصغر يمكننا أن نستخدم إحصاءة t النشاء فترة ثقة لص S S ( X X ) t(, v) المثال )5(: إدعصصى ناشصصر يقصصوم بصصاإلعالن عصصن كتصصاب جصصامعي بصصأن الطصصالب الصصذين يقصص أرون هصصذا الكتصصاب سصصصوف يحصلون على درجات أعلصى فصي االمتحان لص اختبصار القصد ارت مصن الطصالب الصذين يقص أرون كتابصا آخصر. عقصد هصذا 8 طالب ق أروا فقط هذا الكتاب و 8 طالب ق أروا فقصط كتابصا أخصر. كصان متوسصط درجصات الطالب الثمانيصة الصذين قص أروا الكتصاب المعصين درجصصصات الصصصص للفصصرق الحقيقصصي X 76.5 واالنحص ارف المعيصاري X 8 اآلخصصصرين موزعة توزيعا طبيعيا. بصصين متوسصصطي واالنحصصص ارف المعيصصصاري = ومتوسصط 4.37 أوجصصصد %95 فتصصصرة ثقصصصة الصصدر اجات للمجمصصوعتين. يمكننصصا أن نفتصصرم بصصأن درجصصات االمتحصصان الحل الخطوة )(: تحدد أوال الصيغة التي ستستخدم. وحيث أن قيم االنح ارف المعياري للمجتمعين غير معروفين وال يفترم أنهما متساويان وأن حجم العينتان صغير فيجب علينا أن نستخدم الصيغة التالية: S S ( X X ) t(, v) t ( 0.05,7).365 t t(, v) الكشف عن قيمة من جدول توزيع وهي الخطوة )(: 96

97 الخطوة )3(: حساب الثقة فترة ( ).365 (3.959) 8 (-9.36, 7.6) (4.37) 8 يمكننا القول باننا واثقون بنسبة الفرق الحقيقي متوسطي بين درجات األختبار %95 أن من للمجموعتين الطالب يقع في الفترة من إلى 7.6 درجة التفسير العملي الصفر محصور بين هذين الحدين ويبدو معقوال أنه ال يوجد فرق في متوسطي االختبار درجات بين المجموعتين. هل ستميل إلى دفع سعر عالي للكتاب الجديد أو حتى الوصول إلى ق ارر حصول أي الكتابين ستشتري ارتكا از على هذه النتائج 97

98 - اختبا ارت الفروض تحدثنا في الفصول السابقة عن االستدالل اإلحصائي عن طريق تقدير فترة ثقة. وقد استخدمنا بيانات العينة لتقدير قيمة معلمة المجتمع حيث أعطى التقدير قي متان للفترة والتي يقد ر حدوث معلمة المجتمع ضمنها. وقد كان االفت ارم بأن العينة هي مصدر كل المعلومات المتعلقة بالمعلمة مضمنا في إنشاء تقدير الفترة من عينة عشوائية. لم ي بذل أي مجهود فيما يتعلق بالباحث لكي يشير إلى اعتقاد محدد حول معلمة المجتمع قبل جمع العينة. يقدم هذا الفصل طريقة أخرل لالستدالل اإلحصائي حول معلمة المجتمع. وتسمى هذه الطريقة لالستدالل اإلحصائي اختبار الفرضية. والغرم من مثل هذا النوع من االستدالل اإلحصائي هو تحديد ما إذا كانت نتائج العينة تساند )أو تفشل في مساندة( اعتقاد معي ن أو فرضية محددة حول قيمة معلمة المجتمع التي يحددها الباحث. فيما يلي بعم األمثلة التي يمكن فيها تطبيق هذا النوع من االستدالل: تقوم شركة بتسويق منتج جديد إلى قطاع عمالء محدد وتريد الشركة أن تحصل على مشاركة في السوق بنسبة %3 من قطاع العمالء المستهدف لتحقيق الوصول إلى السوق بنجاح. قامت إدارة بحوث التسويق في الشركة باختيار عينة عشوائية من قطاع العمالء المستهدفين لتحديد ما إذا كانت النتائج توضح انه قد تم تحقيق الحصول على مشاركة في السوق بنسبة.%3 تقوم شركة خدمات مالية بتقييم نظام جديد لمعالجة األوامر لتحديد ما إذا كان يؤدي بفعالية أكبر من النظام القديم. وأخذت الشركة عينة عشوائية من األوامر المنفذة لتقارن زمن المعالجة أو التنفيذ مقابل زمن المعالجة أو التنفيذ للنظام القديم. 98

99 يستخدم اختبار الفرضية للوصل إلى نتيجة حول هذه المواضيع والمواضيع األخرل المماثلة لها. في هذا الفصل سوف نقوم بد ارسة العناصر الضرورية إلج ارءات اختبار الفرضية. الهدف من اختبار الفرضية هو االجابة عن هذا السؤال: هل نتائج العينة متوافقة مع القيمة المفترضة لمعلمة المجتمع أو أن نتائج العينة تتعارم مع هذه القيمة وبرفم إمكانية قبول القيمة المفترضة مبدئيا فيننا ننشئ بشكل غير مباشر إمكانية قبول القيمة المفترضة البديلة أو مدل من القي م. وبهذه الطريقة يقوم الباحث باالستدالل حول قيمة معلمة المجتمع. صياغة الفروض حينما يقرر باحث في أي مجال من المجاالت اختبار نظرية جديدة فينه يقوم أوال بصياغة أن فرضية يعتقد أنها صحيحة. مثال قد يد عي شخ يقوم بتثمين أو تقييم العقا ارت أن القيمة المتوسطة المفترضة لتحديث المنازل في الحي )أ( تختلف عن القيمة المتوسطة المفترضة لتحديث المنازل في الحي )ب(. وبعبا ارت إحصائية فين الفرضية التي يحاول الباحث أن يصيغها تسمى الفرضية البديلة أو فرضية البحث. وتقترن الفرضية الصفرية )العدم( بالفرضية البديلة والفرضية الصفرية هي عكس الفرضية البديلة. وبهذه الطريقة فين كال الفرضيتان متعلقة بمعلمة المجتمع المالئمة وتصفان حالتين ممكنتين من الطبيعة ال يمكن أن تكونا صحيحتين في نفس الوقت. وعندما يبدأ باحث في جمع المعلومات حول الظاهرة التي تهمه فينه يحاول بشكل عام ألن يقدم الدليل الذي يدعم الفرضية البديلة. وكما ستعرف الحقا فيننا نأخذ أسلوبا غير مباشر للحصول على دعم الفرضية البديلة. وبدال عن إلثبات المحاول الفرضية البديلة صحيحة فيننا نحاول أن نقدم الدليل الذي يوضح أن الفرضية الصفرية خطأ. 99

100 الفرضيتان الصفرية والبديلة مثال: افترم أننا نريد اختبار الفرضية التالية: H : 7 0 : 7 تفيد الفرضية الصفرية أن متوسط المجتمع H A أقل من أو يساوي 7 بينما تفيد الفرضية البديلة أن متوسط المجتمع أكبر من 7. إن الغرم من د ارسة الفرضية الصفرية هي تحديد ما إذا كان هناك دعم للفرضية البديلة التي يعبر عنها الرمز. H A ويحدد شكل الفرضية البديلة ما إذا كان سيتم عمل اختبار اختبار أو ذو طرف ذو طرفين. في المثال أعاله فان االحتمالين الممكنين للفرضية البديلة ذات الطرف الواحد تكتب كالتالي: H A : 7 ) H A : 7 ) 00

101 الصيغة التالية للفرم البديل ذو طرفين: H A : 7 التعرف إلى الخطأ من النوع االول )I( الخطأ من النوع الثاني )II( يكتمل اختبار الفرضية باتخاذ ق ارر حول ما إذا كان سيتم رفم الفرضية الصفرية أم ال. إن هذا الق ارر يدمج مع ما إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة أم خطأ لينتج أحد األحوال األربعة الممكنة التالية: الفرضية الصفرية صحيحة والقرار هو عدم رفضها. الفرضية الصفرية خطأ والق ارر هو رفضها. الفرضية الصفرية صحيحة والق ارر هو رفضها. الفرضية الصفرية خطأ والق ارر هو عدم رفضها. )( )( )3( )4( في الحالتين األولى والثانية تؤدي إج ارءات اختبار الفرضية إلى الق ارر الصحيح حول الفرضية الصفرية. وفي الحالتين األخيرتين تم اتخاذ الق ارر غير الصحيح فيما يتعلق بالفرضية الصفرية. ولكننا نجد أن الخطأين ليسا من النوع نفسه. الق ارر الخطأ في الحالة الثالثة هو رفم الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة I. أما الق ارر بالفعل )بدون أن يعرف الباحث ذلك(. يدعى ذلك خطأ من النوع االول 0

102 الخطأ في الحالة ال اربعة بعدم رفم الفرضية الصفرية عندما تكون غير صحيحة بالفعل )وللمرة الثانية بدون أن يعرف الباحث ذلك(. يدعى ذلك. الثاني II خطأ من النوع. H 0 كما يبين الجدول أيضا يوضح الجدول ادناه العالقة بين الق ارر والحالة الفعلية لص الخطأ الذي قد يقع وتعيينات االحتمال القابلة للتطبيق. H 0 الق ارر ال ترفض صحيحة الموقف الفعلي H 0 خطأ خطأ من النوع II ق ارر صحيح االحتمال هو قيمة االحتمال أنه على األقل ارفض على عوامل عديدة يساوي ق ارر صحيح خطأ من النوع I االحتمال على أكثر تقدير االحتمال يساوي يساوي تعتمد H 0 H 0 H 0 صحيحة ويكون يتم ارتكاب خطأ من النوع I فقط إذا كانت الفرضية الصفرية الق ارر هو رفضها. واحتمال أو خطر الخطأ من النوع I يشار إليه بالحرف اإلغريقي. وفي العادة يقوم الباحث بتحديد المستول األقصى لالحتمال أو خطر الخطأ من النوع ( ( I في إج ارءات اختبار الفرضية. وتسمى هذه القيمة مستول معنوية االختبار )- درجة الثقة(. يتم ارتكاب الخطأ من النوع II فقط إذا كانت الفرضية الصفرية خطأ والق ارر هو عدم رفضها. واحتمال أو خطر الخطأ من النوع II يشار إليه بالحرف اإلغريقي ويتحدد احتمال ارتكاب خطأ من النوع II عن طريق ثالثة عناصر:. )( القيمة المختارة لمستول المعنوية )( حجم العينة )( 0

103 )3( القيمة الصحيحة )المجهولة( لمعلمة المجتمع. واذا احتفظنا باثنين من هذه العناصر بدون تغيير وتغيير العنصر الثالث فيننا نغير احتمال ارتكاب خطأ من النوع. II وتحديدا فين احتمال ارتكاب خطأ من النوع II يصبح أكبر في الحاالت التالية )( كلما صغرت القيمة المختارة لمستول المعنوية )( كلما صغر حجم العينة )( )3( كلما اقتربت القيمة الصحيحة من القيمة المفترضة المعطاة في. H 0 ال يمكن أن يحدث الخطأ من النوع I والخطأ من النوع II في آن واحد. ويمكننا أن نكون في موقف واحد فقط من الحاالت األربعة في أي وقت محدد. ولكن عندما يكون حجم العينة ثابتا فين تقليل خطر حدوث خطأ من أي نوع يزيد خطر حدوث الخطأ من النوع االخر. وبكلمات أخرل عندما يكون حجم العينة ثابتا فين هناك تبادل مباشر لمستول مع مستول. عليه يجب عمل خيار لتحديد أي الخطأين أكثر أهمية من حيث تجنبه. ويجب د ارسة تأثي ارت نوع الخطأ من النوع I والخطأ من النوع II قبل اختيار مستول المعنوية لالختبار. ولتقليل كال من الوقت فال بد من زيادة حجم العينة. في نفس و إحصائية االختبار ومناطق الرفض نصف في هذا القسم كيفية الوصول إلى ق ارر في حالة اختبار فرضية. تذكر أنه عند عمل أي نوع من أنواع االستدالل اإلحصائي )الذي يعتبر اختبار الفرضية حالة خاصة منه( فيننا نقوم بجمع المعلومات عن طريق الحصول على عينة عشوائية من المجتمع )أو المجتمعات( تحت الد ارسة. سوف نفترم في كافة تطبيقاتنا أنه يتم القيام بعملية المعالجة المالئمة ألخذ العينات. مثال: افترم أننا نريد اختبار الفرضية التالية H :

104 H A : 7 ما هو الشكل العام إلج ارء اختبار إحصائي للفرضية الحل بمجرد أن نقوم بتحديد )الخطوة األولى( فين الخطوة الثانية هي الحصول H A H 0 و على عينة عشوائية من المجتمع تحت الد ارسة. إن المعلومات التي تزودنا بها هذه العينة في شكل إحصائيات للعينة سوف تساعدنا على اتخاذ ق ارر عما إذا كان علينا أن نرفم الفرضية الصفرية أم ال إن إحصائيات العينة التي نبني عليها اتخاذ ق اررنا تدعى إحصائية االختبار. والخطوة الثالثة إذن هي تحديد إحصائية اختبار تكون معقولة في سياق اختبار فرضية محددة. مثال: إننا نعمل افت ارم حول قيمة متوسط المجتمع. وحيث أن x أفضل تخمين لنا فيما يتعلق بقيمة هو متوسط العينة فمن المعقول استخدام كيحصائية لالختبار. سوف نتعلم كيفية اختيار إحصائية االختبار لحاالت اختبار فرضية في األمثلة التالية. الخطوة ال اربعة هي تحديد مدل القيم المحسوبة الممكنة إلحصائية االختبار التي سوف يتم رفم الفرضية الصفرية لها. أي ما هي القي م المحددة التي تجعلنا نرفم الفرضية الصفرية لصالح الفرضية البديلة وتعرف هذه القي م المحددة كليا مع بعضها باسم منطقة الرفم لالختبار. ولهذا المثال فقد نحتاج ألن نحدد قيم x التي تجعلنا نعتقد أن صحيحة )أي أن أكبر من 7(. للمرة الثانية سوف نتعلم كيف H A نوجد منطقة رفم مالئمة في أمثلتنا الالحقة. أخي ار في الخطوة الخامسة نتخذ ق اررنا بمالحظة ما إذا كانت القيمة المحسوبة إلحصائية االختبار تقع ضمن منطقة الرفم. إذا كانت القيمة المحسوبة تقع ضمن 04

105 منطقة الرفم فيننا نرفم الفرضية الصفرية ونقبل الفرضية البديلة. أما إذا كانت القيمة المحسوبة تقع ضمن منطقة القبول فيننا نقبل الفرضية الصفرية. فيما يلي الخطوط العامة إلج ارءات الفرضية/االختبار: H 0 ( يجب تحديد الفرضية الصفرية المعنوية والفرضية البديلة H A. ومستوى من المجتمع أو المجتمعات ذات عينة عشوائية يلزم الحصول على ( العالقة. يلزم تحديد إحصائية االختبار المالئمة وحساب قيمتها باستخدام بيانات 3( العينة. 4( يلزم تحديد منطقة الرفض. )إن هذا يعتمد على قيمة وعلى شكل الفرضية البديلة(. التي تم اختيارها 5( يجب الوصول إلى االستنتاج الصحيح عن طريق م ارقبة ما إذا كانت القيمة المحسوبة إلحصائية االختبار تقع ضمن منطقة الرفم. واذا كان الحال كذلك يلزم رفم الفرضية الصفرية واال فينه يلزم عدم رفم الفرضية الصفرية. اختبار فرضية لمتوسط مجتمع واحد يستخدم اختبار متوسط مجتمع واحد متوسط العينة x لصياغة إحصائية االختبار. هناك حالتان مختلفتان بيحصائية اختبار مختلفتين في إحدل الحالتين تكون قيمة معروفة وفي الحالة األخرل تكون قيمة غير معروفة. الحالة االولي: عندما تكون قيمة معروفة x Z 0 تكون إحصائية االختبار كالتالي: 05

106 . H 0 0 حيث هي القيمة المفترضة لمتوسط المجتمع في المحددة مثال : قررت إدارة سلسلة مستشفيات مملوك ملكية عامة التي توظف آالف الموظفين الجدد كل عام عن طريق إدخال خطة تعويم مؤجلة لإلجازة المرضية. وبموجب الخطة ال يتم دفع أي تعويم لأليام األولى التي يكون فيها الموظف مريضا ولكنها تدفع فوائد ازئدة لإلجا ازت المرضية المطولة. وقد تم تعديل الخطة بعد إدخال خطط التأمين من النوع "القابل للحسم" التي ال توفر تعويضا مقابل مبلغ محدد مسبقا قابل للحسم ولكنها تعو م عن كل الخسائر التي تتجاوز ذلك المبلغ القابل للحسم. وسوف تنطبق الخطة )في الوقت ال ارهن على األقل( فقط على الموظفين المعينين حديثا. وقررت اإلدارة أنه بسبب المي ازنية المحدودة واالحتفاظ المكلف بسجالت م ارقبة سلوكيات الغياب بدقة تم سحب عينة عشوائية تتكون من 00 ممرم تم تعيينهم بموجب خطة اإلجازة المرضية الجديدة. وتوضح سجالت الموظفين خالل السنوات القليلة السابقة أن متوسط أيام غياب الممرضين المعينين حديثا )في الماضي( تبلغ 8.8 يوما بانح ارف معياري يبلغ 4 أيام أثناء السنوات األولى. واذا بلغ متوسط العينة العشوائية التي تتكون من 00 ممرم 7. يوما من الغياب أثناء السنة األولى بموجب خطة اإلجازة المرضية فهل يؤشر هذا إلى اختالف معنوي عن المتوسط الموضح في سجالت السنوات القليلة الماضية اختر مستول المعنوية الحل الخطوة : تحديد الفرضية الصفرية والفرضية البديلة. H 0 : 8.8 لم يتغير غياب الممرضين الجدد باستخدام النظام الجديد H A :

107 تغير غياب الممرضين الجدد باستخدام النظام الجديد Z الخطوة : إحصائية االختبار هي: x Z الخطوة 3: تحديد منطقة الرفض حيث أن الفرضية البديلة ال يساوي ( ) فين لدينا منطقتي رفم )ذات طرفين(. مستول المعنوية 0.05 والذي سيتم تقسيمه إلى اثنين )إذ أن لدينا منطقتي رفم(. 0 إليجاد القي م الحرجة )قيم بداية منطقة الرفم( نوجد المساحة بين القيمة الحرجة و. Z بكلمات أخرل أوجد المساحة المطلوبة بناء على المعادلة التالية: المساحة المطلوبة = 0.5- منطقة الرفض )في طرف واحد في حالة اختبار ذو طرفين( ارجع إلى جدول التوزيع الطبيعي المعياري تحت المساحة لكي تجد قيمة Z المقابلة. 0.5= = المساحة المطلوبة قيمة Z هي.96 في الجانب األيمن و.96- في الجانب األيسر. الخطوة 4: الق ارر 07

108 حيث أن إحصائية االختبار )4-( أقل من.96- فينها تقع في منطقة الرفم. عليه فيننا نرفم الفرضية الصفرية التي تقول بعدم وجود تغيير في الغياب ونقبل الفرم البديل القائل بان هناك تغيير في الغياب للممرضين الجدد بمستول معنوية.0.05 التفسير العملي: عند مستول معنوية 0.05 فين الفرق بين 0 و 8.8 x 7. هو فرق معنوي. عليه فيننا نستنتج أن هناك تغيير ذو داللة إحصائية في سلوك الغياب لدل الموظفين المعينين حديثا بموجب خطة الغياب بسبب المرم الجديدة بالنسبة إلى السنوات القليلة الماضية. هل الخطة الجديدة فعالة ولماذا الحالة : عندما تكون قيمة العينات الكبيرة إحصائية االختبار غير معروفة x Z 0 S x 0 t S العينات الصغيرة إحصائية االختبار مثال رقم : أعلنت شركة سيا ارت جديدة أن استخدام البنزين بموجب ظروف القيادة االعتيادية هي 35 ميل لكل جالون في المتوسط أثناء القيادة في المدينة. وبعد عدة أشهر من 08

109 ش ارء سيارة قرر أحد العمالء أن يتأكد من أن سيارته تسير المسافة المحددة لكل جالون. وقد احتفظ العميل منذ أن اشترل السيارة بسجالت ق ارءات عداد السيارة وعدد الجالونات المطلوبة في كل مرة يعبئ فيها السيارة. وقد اختار عشوائيا 9 م ارت قام فيها بتعبئة خ ازن الوقود فوجد أن متوسط األميال للجالون الواحد هو 33.4 ميال بانح ارف معياري يبلغ.3 ميل لكل جالون. هل يؤشر ذلك على أنه كان يحصل على األقل 35 ميال لكل جالون استخدم مستول معنوية 0.05 وافترم أن األميال لك لجالون موزعة توزيعا طبيعيا. الحل الخطوة : تحديد الفرضية الصفرية والفرضية البديلة )على األقل يحصل على H0 : ميل لكل جالون( H A : 35 )يحصل على أقل من 35 ميل لكل جالون( الخطوة : حساب إحصائية االختبار x 0 t S t.08 t الخطوة 3: تحديد منطقتي القبول والرفم (0.05,8) t t8 ومن جدول توزيع منطقة الرفم الختبار ذو طرف واحد تعطي t..86 الشكل التالي يوضح منطقتي القبول والرفض: فإن ( 0.05,8) 09

110 الخطوة 4: الق ارر حيث أن إحصائية االختبار ).08- =t( أقل من.86- فينها تقع في منطقة الرفم. عليه فيننا نرفم الفرضية الصفرية التي تقول بان كمية استهالك الوقود على األقل 35 ميل لكل جالون ونقبل الفرم البديل بان متوسط عدد االميال المقطوعة لكل جالون بنزين أقل من 35 ميل بمستوي معنوية التفسير العملي: عند مستول معنوية 0.05 فيننا نستنتج أن مالك السيارة الجديدة كان يحصل على أميال لكل جالون أقل مما يدعيه صانع السيارة. إذا كانت فترة ضمان السيارة 3 سنوات فهل يتوجب على مالكها أن يعيدها إلى الشركة الصانعة رقم مثال )3(: البيانات التالية تمثل درجات عشرين طالبا في مقرر ما: 65, 7, 68, 8, 45, 9, 87, 85, 90, 60, 48, 60, 68, 7, 79, 68, 73, 69, 78, 84 0

111 المطلوب: اختبار الفرضية المبدئيصة القائلصة بصأن متوسصط درجصات الطصالب = 65 درجصة مسصتخدم برنصامج SPSS علمصا بصان توزيصع الصدرجات يتبصع التوزيصع الطبيعصي واسصتخدم مستول معنوية %5. الحل - تحديد الفرضية الصفرية والفرضية البديلة )متوسط درجات الطالب ال يختلف عن H0 : : 65 درجة( H A )متوسط درجات الطالب يختلف عن 65 درجة( - حساب احصائية االختبار وقيمة p-value SPSS STEP BY STEP Aalyze Compare Meas Oe-Sample T Test أكمل المربع الحواري كما يلي: نتائج االختبار Oe-Sample Statistics scores Std. Error N Mea Std. Dev iatio Mea

112 Oe-Sample Test scores Test Value = 65 95% Cofi dece Iterv al of the Mea Diff erece t df Sig. (-tailed) Diff erece Lower Upper الق ارر من النتائج السابقة يمكن استنتاج ما يلي: احصائية االختبار هي =.5 t وقيمصة p-value هصي Sig.(-tailed)=0.0 وهصي أقصل مصن 0.05 )مسصصتول المعنويصة( فبالتصصالي نصرفم الفرضصية المبدئيصصة القائلصة بصصأن متوسصط درجصصات الطصالب فصي الرياضصيات تسصاوي 65 درجصة ونسصتنتج أن درجصات الطصالب ال تسصاوي )أو تختلصف عن( 65 درجات بمستول معنوية %5. يمكن اختبار الفرضية البديلة القائلة بأن متوسط درجات الطالب أكبر من 65. حيث أن نتيجة الوسط الحسابي للعينة تتوافق مع الفرضية البديلصة )متوسصط درجصات الطصالب أكبصر من 65 درجة( فبالتالي نستنتج أن متوسط درجات الطالب أكبر من 65 درجة.

113 P اختبار فرضية للنسبة في مجتمع واحد P النسبة في مجتمع P تمثل احتمال النجاح تصف اإلج ارءات أدناه المستخدمة الختبار فرضية حول ارتكا از على عينة كبيرة من المجتمع المستهدف. )تذكر أن في تجربة ذات الحدين(. اختبار فرضية للنسبة في مجتمع واحد اختبار ذو طرف اختبار ذو طرفين H 0 : P P 0 H A : P P 0 ( 0 : P P0 H ) ) H A : P P 0 ( H0 : P P 0 H A : P P 0 احصائية االختبار Z pˆ P P ( P ) منطقة الرفم: منطقة الرفم: Z Z ) Z Z Z )أو Z pˆ x حيث النسبة في العينة )نسبة النجاح( ( 30). الفرم: ان يكون حجم العينة كبير ولكي يكون اإلج ارء صحيحا فيجب أن يكون حجم العينة كبي ار بشكل كافي )أكبر من أو يساوي 30( ليضمن أن يكون توزيع المعاينة للنسبة في العينة ˆp كما يجب التحقق من شرطين و تقريبا طبيعيا. ( P0 ) 5 P 0 5 3

114 مثال )(: وجدت د ارسة إحصائية أمريكية أجريت في العام يشترون سيا ارت جديدة هم من النساء. افترم مشتر جديد للسيار ات في العام أن النسبة الحقيقية بشكل معنوية من 57 أن 980 م أن 995 م هم من النساء. هل لمشتريي السيا ارت الجديدة في العام من عينة عشوائية %40 من الذين من تشير هذه البيانات %0 أي النسبة في العام الحل إلى 995 م من النساء أكبر 980 م استخدم مستول معنوية تحديد الخطوة )(: الفرضية الصفرية والفرضية البديلة H0 : P 0.40 )نسبة مشتري السيا ارت من النساء لم تغيير من العام 980 م إلى العام 995 م( H A : P 0.40 )نسبة مشتريي السيا ارت الجديدة من النساء أكبر في العام 995 م( الخطوة )(: حساب إحصائية االختبار Z pˆ P P ( P ) قبل أن نقوم بعملية الحساب فال بد من التحقق من ثالثة شروط لكي نستخدم إحصائية االختبار أعاله. أوال يجب أن يكون حجم العينة أكبر من 30 أو يساوي )=0( وكذلك P 0 و 5 ( P0) 5 أن وحيث 0= و P0 0(0.4) 48 و تتطلب إحصائية االختبار حساب جديدة. سيا ارت ( P0 ) 0(0.6) 7 ˆp العينة في النسبة pˆ فقد تم استيفاء الشروط. أي نسبة النساء الذين اشترينا 4

115 وباإلحالل نحصل على القيمة التالية إلحصائية االختبار: Z (0.40)(0.60) /0.68 الخطوة ) 3 (:تحديد منطقتي القبول والرفم عند مستول المعنوية 0.0 فين منطقة الرفم لهذا االختبار واحد أيمن طرف ذات. Z Z..8 تتكون من كافة قي م Z التي تتحقق فيها يوضح الشكل أدناه مناطق الرفم والقيمة الحرجة: الخطوة )4(: الق ارر تقع قيمة إحصائية االختبار ضمن منطقة الرفم وعليه فيننا نرفم الفرم الصفري ونقبل الفرم البديل و نستنتج أن نسبة المشترين للسيا ارت الجديدة في العام 995 م من النساء قد ازدت بشكل معنوية عن 0.40 بمستول معنوية %0. ويمكن حل المثال السابق باستخدام SPSS حيث أن البيانات هي: 5

116 couts حيث يمثل المتغير geder النوع )نساء= أو رجال= ( والمتغير التك ارر أي عدد الذين قاموا بش ارء سيا ارت جديدة من النساء والرجال. خطوات إج ارء اختبار فرم حول النسبة: couts ابالغ أوال: SPSS بان المتغير يعبر عن التك ار ارت وذلك من خالل Dataweight cases couts إلى الجهة اليمين وذلك لتعريفة كتك ار ارت كما في الصندوق التالي: يتم نقل المتغير إدناه: ثم يتم النقر على.OK ثانيا: يتم اختيار االختبار المناسب من خالل: AalyzeNoparametric testslegacy DialogsBiomial Test 6

117 ثم نحصل على الصندوق التالي: والذي تم من خالله نقل المتغير geder إلى الجهة االخرل تحت "المتغي ارت تحت االختبار" Test variable List ويتم تحديد النسبة الم ارد اختبارها Test OK وهي النسبة المفترضة في السؤال وهي ومن ثم يتم نقر Proportio لنحصل على النتائج التالية: Biomial Test Category N Observed Prop. Test Prop. Exact Sig. (- tailed) geder Group wome Group me 63.5 Total 0.0 7

118 تشير النتائج إلى أن قيمة p-value أقل من مستول المعنوية %0 وعلية فيننا نرفم الفرم الصفري ونقبل الفرم البديل القائل بأن نسبة النساء الذين قاموا بش ارء سيا ارت جديدة أكثر من %40. المثال رقم )(: تتغير تكنولوجيا الحاسب اآللي بسرعة كبيرة وما أن تخرج رقاقة أشباه الموصالت من خط اإلنتاج إال ويتم تصميم رقاقة جديدة أقول تستطيع إعطاء قوة حسابية أكبر وبتكاليف أقل ويدرك المهندسون أن تغيير تصميم الرقاقة يمكن أن يسبب تغيي ار في نسبة الرقائق المعطوبة التي يتم تصنيعها. وفي الكثير من الحاالت ال يمكن التنبؤ مسبقا بما إذا كان تصميم الرقاقة سوف يزيد وعليه مجتمع أو يقلل من نسبة الرقائق المعطوبة. يتم إنشاء إج ارءات ضبط الجودة لتكشف عن أي عطب يحدث في نسبة الرقائق المعطوبة التي يتم إنتاجها. وبمجرد الحصول على البيانات من عينات خط اإلنتاج فين الخطوة التالية الصفرية بعدم وجود أي تغيير أي أن للرقائق المعطوبة و هي صياغة اختبار الفرضية. وتفيد الفرضية H 0 : P P 0 P حيث P 0 الفرضية البديلة أي تغيير سيتم تنفيذ اختبار ذو طرفين هي النسبة الحقيقية هي القيمة المفترضة عندما ال يحدث تغيير. وتتط بل P 0 عن أي أن. H A تبين الفرضية البديلة أنه : P P 0 حيث أنها تفيد بوجود تغيير في أي االتجاهين. من افترم أن خط اإلنتاج الحالي لرقائق أشباه الموصالت يفيد بوجود نسبة الرقائق المعطوبة. سوف يزيد تصميم جديد طوره مهندسو الشركة ويتيح للرقاقة أداء وظائف أكثر تعقيدا وبعد أسبوع واحد تم فح عينة عشوائية من أن % من لسعة ذاكرة الرقاقة ويتم إنشاء وتشغيل خط إنتاج تجريبي جديد 600 المعطوبة منها معطوبة. هل يمكننا أن نقول انه المنتجة استخدم مستول معنوية الحل.0.0 رقاقة بحثا عن أي عيوب ووجد قد حدث تغيير في نسبة الرقائق الخطوة )(: تحديد الفرضية الصفرية والفرضية البديلة 8

119 )ال تغيير في نسبة الرقائق المعطوبة( )هناك تغيير حقيقي في نسبة الرقائق المعطوبة( H A H 0 : P.0 : P.0 الخطوة )(: حساب إحصائية االختبار Z pˆ P P ( P ) قبل القيام بعملية الحساب هناك ثالث شروط ال بد من فحصها من أجل استخدم إحصائية االختبار أعاله. أوال يجب أن يكون حجم العينة أكبر من 30 أو تساوي P 0 كذلك 5 )=600( و P 0. وحيث أن =600 و =600(.0)=6 ( P0 ) 5 P ) ( 0 و =600(.99)=594 تتطلب إحصائية االختبار حساب نسبة فقد تم استيفاء الشروط. ˆp العينة في pˆ وباإلحالل نحصل على قيمة إحصائية االختبار: Z.64 (.0)(.99) 600 من الرقائق المعطوبة: الخطوة )3(: تحديد حيث أنه تم تحديد تساوي سوف اليسرل منطقة 0.0 القبول والرفم فين كل أي.0.0 من يوضح الشكل أدناه مناطق الرفم والقي م الحرجة: منطقة الرفم اليمنى ومنطقة الرفم 9

120 الخطوة ) 4 (:الق ارر حيث أن قيمة إحصائية االختبار ليست أقل من.33- )وبطبع ليست أكبر من.33( لذلك فينها ال تقع في منطقة الرفم وعليه ال يمكن رفم H o أي أننا نقبل الفرم الصفري والقائل بان النسبة الحقيقية للرقائق المعطوبة ال تختلف عن %. التفسير العملي: االستنتاج عند مستول معنوية 0.0 هو أن التغيي ارت التي تم إدخالها على خط اإلنتاج التجريبي لم تغي ر نسبة الرقائق المعطوبة المنتجة تغيي ار واضحا. بمعنى آخر فين الفرق بين معدل الرقائق المعطوبة من نسبة العينة ) ( والمعدل السابق )0.0( ليس معنويا إحصائيا. وعليه يبدو أن الشركة سوف تنتج الرقائق الجديدة األكثر قوة بدون أن يكون هناك تغيير فعال في معدل الرقائق المعطوبة المنتجة. وعلى الرغم من أن معدل الرقائق المعطوبة لم ينخفم كما كان أمل الشركة إال أنه لم يرتفع وهذا شيء مشجع. اختبار الفرق بين نسبتي مجتمعين P -P افترم أننا مهتمون بمقارنة نسبتي مجتمعين اختبار الفرضية لتجربتين مستقلتين P (. P تذكر أن P 0( لتوزيع ذات كبيرة للفرضية حول ما إذا كان صفر )أي وبالتالي P و الحدين. يبين المربع P P.) P P المستهدفة هي المعلمة ف ني يمثالن أيضا احتماالت النجاح طريقة أداء التالي أي الفرق بين نسبتي تجربتي ذو اختبار عينة هو الحدين إج ارءات اختبار فرض H 0 : P P اختبار ذو طرف اختبار ذو طرفين H 0 : P P ) H 0 : P P H 0 : P P )أو 0

121 H A : P P ) H A : P P H A )أو : P P Z pˆ pˆ pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) إحصائية االختبار منطقة الرفم: منطقة الرفم: Z Z ) Z Z Z )أو Z حيث pˆ x x ˆ p x p ˆ x. )30 و الفرض: حجم العينتين كبير )أكبر من أو يساوي P P P H 0 : P حيث أننا نختبر P العدد الكلي للنجاح في العينتين فين باإلمكان أن نجد أفضل تقدير حجم على العينتين. أي أنه إذا كان بتقسيم هو عدد فين: x x و م ارت النجاح في العينة األولى هو عدد م ارت النجاح في العينة الثانية x pˆ x يجب أن يكون حجما العينتين المعاينة لص و و وبالتالي الفرق ( كبير ين بما يكفي ليضمن أن يكون توزيع يتوزع ) توزيعا طبيعيا تقريبا. pˆ p ˆ ˆp ˆp المثال )3(: ظهر اتجاه في السنوات األخيرة بأن يعمل كال الوالدين خارج البيت. هل تعاني األمهات العامالت من نفس العبء والضغوط العائلية التي يعاني منها أزواجهن هناك اعتقاد عام بأن نسبة األمهات العامالت الالتي يشعرن بأن لديهن وقت إضافي متوفر ألنفسهن أقل كثي ار من النسبة المقابلة من اآلباء العاملين. والختبار ذلك تم

122 اختيار عينتين عشوائيتين من 00 من األمهات العامالت و 00 من اآلباء العاملين وتسجيل آ ارئهم عن الوقت اإلضافي الم توفر لهم. يوضح الجدول أدناه ملخصا للبيانات. )افترم أن كل األزواج ولا زوجات في العينتين يعملون خارج البيت(. هل تدعم معلومات العينة االعتقاد بأن نسبة األمهات العامالت الالتي يشعرن أن الوقت اإلضافي المتوفر لهن أقل من الوقت اإلضافي المتوفر للنسبة المقابلة لآلباء العاملين افترم أن مستول المعنوية %. حجم العينة عدد من يشعرون أن لديهم الوقت اإلضافي الكافي ألنفسهم األمهات العامالت 00 7 الحل اآلباء العاملين تحديد الفرم الصفري والبديل. H H A 0 : P P : P P الخطوة )(: pˆ ˆp الخطوة )(: لكي نحسب إحصائية حساب إحصائية االختبار Z pˆ pˆ pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) االختبار فال بد لنا من حساب و و Z ˆp 7 56 pˆ pˆ p ˆ وعلية فان إحصائية االختبار تكون (.45)(.585) (.45)(.585)

123 الخطوة )3(: تحديد منطقتي القبول والرفض منطقة الرفم في الطرف األيسر من منحني التوزيع الطبيعي وبداية منطقة الرفم )القيمة الحرجة أو قيمة Z الجدولية( هي.33- وذلك الن مستوي المعنوية %. الشكل التالي يوضح منطقتي القبول والرفم: الخطوة )4(: الق ارر حيث أن قيمة إحصائية االختبار تقع ضمن منطقة الرفم فيننا نرفم الفرضية الصفرية. هناك دليل كاف لالستنتاج بأن نسبة األمهات العامالت خارج البيت الالتي يشعرن بأن لديهن الوقت اإلضافي المتوفر ألنفسهن أقل كثي ار من النسبة المقابلة لآلباء العاملين الذين يحسون بنفس الشعور بمستول معنوية %. سؤال كيف يمكن حل المثال السابق باستخدام SPSS 3

124 Chi-Square Tests Asymp. Sig. Exact Sig. (- Exact Sig. (- Value df (-sided) sided) sided) Pearso Chi-Square 7.3 a.000 4

125 Cotiuity Correctio b Likelihood Ratio Fisher's Exact Test Liear-by-Liear Associatio N of Valid Cases a. 0 cells (0.0%) have expected cout less tha 5. The miimum expected cout is ولحساب قيمة b. Computed oly for a x table Z المحسوبة بالقانون نجد أنها تساوي جذر قيمة مربع كاي لبيرسون والتي تمثل القيمة األولى في الجدول أعاله: Z=(7.3) 0.5 = اختبارات الفروض حول الفرق بين متوسطي مجتمعين مستقلين سصصصوف نبصصصين فصصصي هصصصذه الموضصصصوع اإلجصصص ارءات واألسصصصس المنطقيصصصة الختبصصصار الفرضصصصصيات المتعلقة بالفرق بين متوسطي مجتمعين مستقلين. ولكي نختبر الفرضيات حول متوسطين بشكل صصحيح ال بصد أن نجيصب أوال عصن سصؤاال أساسيا وهو: هل قي م تباينات المجتمعات معروفة أم مجهولة هنالك ثالث حاالت: الحالة األولى: إذا كانت قيمتا الحالة الثانية: يفترض أن قيمتي غير معروفة. الحالة الثالثة: قيمتا و و معروفتين. و متساويتين ولكن القيمة المشتركة غير متساويتين ولكن قيمتيهما غير معروفتين. تصصصصؤدي هصصصصذه الحصصصصاالت الصصصصثالث إلصصصصى أن يكصصصصون البسصصصصط مختلفصصصصا فصصصصي معادلصصصصة إحصصصصصائية االختبار. سوف نستخدم الرموز التالية لكافة الحاالت: µ تمثل و المتوسط واالنح ارف المعياري على التوالي للمجتمع األول. 5

126 تمثل µ و x x و و تمثل S المتوسط واالنح ارف المعياري على التوالي للمجتمع الثاني. تمثل تقدي ارت نقطة العينة لص و S تمثل و تقدي ارت نقطة العينة لص و على التوالي. و التوالي. على التوالي. حجم العينات العشوائية المأخوذة من المجتمعصين األول والثصاني علصى الحالة األولى: عندما تكون قيمتا و كلتاهما معروفتين تنطبصصصق اإلجصصص ارءات المحصصصددة فصصصي المربصصصع أدنصصصاه علصصصى اختبصصصار فرضصصصية حصصصول الفصصصرق بصصصين متوسصصطي مجتمعصصين عنصصدما يكصصون كصصال المجتمعصصين مصصو زعين توزيعصصا طبيعيصصا واالنح ارفصصان المعياريان للمجتمعين معروفان )بغم النظر عن حجم العينة(. إج ارءات اختبار الفرضية H 0 : أو H A : ) H 0 : ( عندما يكون االنح ارفان المعياريان للمجتمعين معروفين بغم النظر عن حجم العينتين اختبار ذو طرف : أو ( اختبار ذو طرفين H A : ) H A : H A Z x x إحصائية االختبار منطقة الرفم: منطقة الرفم: Z Z ) Z Z أو ( Z Z شروط االختبار: - كال المجتمعان موزعان توزيعا طبيعيا واالنحرافان المعياريان معروفان بغض النظر عن أحجام العينات. - تم اختيار العينات عشوائيا وبصورة مستقلة من المجتمعات المستهدفة. 6

127 مثال )(: إذا تم شد سلك بصين نقطتصي تثبيصت )ملصزمتين( إلصى نقطصة شصد محصددة مصع الضصرب عليصه عنصد المركصز فينصصه سيصصدر نغمصة يمكصصن قيصاس اهت از ازتهصا لكصصل ثانيصة وتوضصح التجصصارب السصصابقة لقيصصاس النغمصصات أن القياسصصات تكصصون موزعصصة توزيعصصا طبيعيصصا بصصانح ارف معيصصاري يسصاوي اهتص اززيين لكصل ثانيصة. صصانع أدوات موسصيقية مهصتم باسصتخدام سصلك مصصنوع مصن مادة جديدة ولكنه يريد أن يضمن أن للسلك الجديد نفس خصائ طبقة الصصوت )أو درجصة الصنغم( للسصلك المسصتخدم حاليصا. تصم أخصذ 7 عينصة عشصوائية مصن السصلك الجديصد و 3 عينصصة عشصصوائية مصصن السصصلك مصصن النصصوع المسصصتخدم حاليصصا وتصصم عمصصل القيصصاس بصصصورة مسصصصتقلة لألسصصصالك األربعصصصين. كصصصان متوسصصصط 7 سصصصلكا جديصصصدا هصصصو 4.86 اهتصصص از از لكصصصل ثانيصصة بينمصصا كصصان متوسصصط 3 سصصلكا مصصن األسصصالك الحاليصصة اهتصص از از فصصي الثانيصصة. عند مقارنة المجتمعين الذي ن أخذت منهمصا العينتصان عنصد مسصتول معنويصة يسصاوي 0.05 هل هناك أي اختالف معنوي في نغمة الصوت بين نوعي السلك الحل H H 0 : : الخطوة )(: تحديد الفرم الصفري والفرم البديل )ال يوجد فرق حقيقي بين نغمتي الصوت لنوعي األسالك( )هناك فرق حقيقي في درجة الصوت لنوعي األسالك( Z الخطوة ) (:حساب إحصائية االختبار Z x x الخطوة )3(: تحديد منطقتي القبول والرفم 7

128 وحيث أن الفرم البديل ال يساوي فين لدينا منطقتا رفم: الخطوة )4(: الق ارر حيث أن قيمة إحصائية االختبار تقع ضمن منطقة القبول فيننا نقبصل الفصرم الصصفري الذي يفيد بأنه ال يوجد فرق في درجصة الصصوت بصين نصوعي السصلك عنصد مسصتول معنويصة يساوي و الحالة الثانية: عندما تكون قيمتا غير معروفتين ولكن يفترض أنهما متساويتان سصوف نفتصرم أن االنحص ارفين ونستخدم االنح ارفين وبافت ارم أن تقدير واحد باستخدام المعيصاريين للعينصة S S و المعيصاريين للمجتمعصين متسصاويان ولكنهمصا غيصر معصروفين كبصديلين لصص و S فين S و S وعلية يمكن حساب S علصى التصوالي. كالهما تقصدي ارن لصنفس القيمصة ويمكصن جمعهصا فصي كما يلي: S ( ) S ( ) S بديال عن S و وبافت ارم أن المجتمعين موزعان توزيعصا طبيعيصا أو طبيعيصصا تقريبصصا فيننصصا سصصنناقش اآلن اإلجصص ارءات المالئمصصة المسصصتخدمة عنصصدما يكصصون لصصدينا عينات كبيرة وعينات صغيرة. 8

129 العينات الكبيرة عندما تكون 30 فين العينات تعتبر كبيرة ويتم تعريصف إحصصائية االختبصار Z المالئمة كالتالي: Z x S x S مثال )(: تسصصصصتخدم درجصصصصات اختبصصصصا ارت الجصصصصدارة المدرسصصصصية فصصصصي الغالصصصصب إلعطصصصصاء الطصصصصالب المصصصصنح الد ارسصصصصية ويمكصصصصن أن تسصصصصاوي الصصصصدرجات العاليصصصصة مصصصصا قيمتصصصصه دوالر فصصصصي شصصصصكل 4 مساعدات مالية للطالب لفترة الجامعي سنوات. ونتيجة لذلك نشأت فصول لإلعصداد لهصصصذه االختبصصصا ارت فصصصي جميصصصع أنحصصصاء الصصصبالد وأعلنصصصت أن بيمكانهصصصا إعصصصداد الطالصصصب جيصصصدا لالختبصار. وتصد عي هصذه الم اركصز أن متوسصط درجصات الطالصب الصذي يصتم إعصداده فصي هصذه الم اركصصز بشصصكل مالئصصم أعلصصى مصصن متوسصصط درجصصات الطالصصب الصصذي ال يصصتم إعصصداده فيهصصصا. والختبصار هصذا االدعصاء قامصت مجموعصة مصن المعلمصين بأخصذ عينصة مصن 50 طالبصا درسصوا فصصصي هصصصذه الفصصصصول اإلعداديصصصة و 50 طالبصصصا لصصصم يدرسصصصوا بهصصصا. وكانصصصت متوسصصصط الصصصدرجات 0 واالنح ارف المعيارية للطالب الذين درسوا بهذه الفصول اإلعدادية 60 علصى و 5 التصوالي بينمصا كانصت 533 و للطصالب الصذين لصم يدرسصوا بهصا. عنصد مسصتول معنويصة هصل يشصير هصذا إلصى أن متوسصط درجصات الطصالب الصذين درسصوا فصي هصذه الفصصول 0.05 أعلصى اإلعداديصة مصن نظص ارئهم الصذين لصم يدرسصوا فصي هصذه الفصصول افتصرم أن درجصات الطصصالب الصصذين درسصصوا فصصي هصصذه الفصصصول اإلعداديصصة موزعصصة توزيعصصا طبيعيصصا علمصصا بصصان االنحر اف المعياري للمجتمعين متساويي. الحل الخطوة )(: تحديد الفرم الصفري والفرم البديل. H 0 : )متوسط درجات الطالب الدارسين في الفصول اإلعدادية ليس أعلى من غيرهم( H A : 9

130 )متوسط درجات الطالب الدارسين في الفصول اإلعدادية أعلى من غيرهم( الخطوة )(: حساب إحصائية االختبار أوال حساب S Z ( x S x S ) S ( ) S 49(0) 49(5) S Z S الخطوة )3(: تحدد منطقتي القبول والرفم وحيث أن الفرم البديل )أكبر من( فين لدينا منطقة رفم على الجانب األيمن. الخطوة )4(: الق ارر حيصث أن إحصصصائية Z المحسصوبة تسصصاوي.89 وتقصع فصي منطقصة الصصرفم فيننصا نصصرفم الفرم الصفري الذي يقول بعدم وجود تحسن في الدرجات وعلية نقبل الفرم البصديل القائل بان درجات الطالب الذين تصم أعصدادهم فصي الم اركصز حصصلوا علصى درجصات أعلصى من أولئك الذين لم يلتحقوا بالم اركز المتخصصة بمستول معنوية %5. 30

131 العينات الصغيرة عنصصدما تكصصون 30 فصصين العينصصات تعتبصصر صصصغيرة وتكصصون إحصصصائية االختبصصار المالئمة هي إحصائية t ويتم تعريفها كالتالي: t v x S x S. v t حيث درجة الحرية إلحصائية االختبار هي v مثال )3(: يوصى األف ارد الذين يقومون بالجري للحفاظ على صحتهم بعمل تسخين ومن المؤكصد أنصصه يلصصزم القيصصام بتسصصخين لمصصدة عشصصرين دقيقصصة لزيصصادة مصصدل الحركصصة للعضصصالت المختلفصصة المسصصتخدمة فصصي الجصصري. وحيصصث أن بعصصم العصصدائين يتعرضصصون النقطصصاع فصصي تمصصارينهم الروتينية فهناك سؤال ما إذا كان من الضروري تك ارر تمارين التسخين بعصد االنقطصاع. قامصت مجموعصة مصن البصاحثين بد ارسصة المصدة الزمنيصة التصي تلصزم ذكص ار سصليما ليفقصد الزيصادة فصي مصدل الحركصة بعصد 0 دقيقصة مصن التسصخين. تصم تعيصين نصوعين مصن تمصارين التسصخين همصا "تمصارين سصصويدية وتمصارين الصدر اجات الهوائيصصة" وتصم اختيصار 0 ذكصصور أصصحاء لكصصل نصصصوع مصصصن التمصصصارين. ولصصصزم الصصصذكور األصصصصحاء الصصصذين قصصصاموا بصصصأداء تمصصصارين تسصصصخين علصصصى 8 الصصد ارجات 8 دقيقصصة فصصي المتوسصصط مصصع انحصص ارف معيصصاري مقصصداره دقصصائق لكصصي يفقصصدوا الزيصادة فصي مصصدل الحركصصة. بينمصا احتصصاج نظصص ارئهم الصصذين اسصتخدم التمصصارين السصصويدية الصى دقيقصصصصة فصصصصي المتوسصصصصط بصصصصانح ارف معيصصصصاري 9 دقصصصصائق لكصصصصي يفقصصصصدوا الزيصصصصادة فصصصصي مصصصصدل 98 الحركة. عند مستول معنوية 0.05 هل هناك أي فرق ذو معنوية في متوسصطي الصزمن المطلصصصوب لفقصصصدان الزيصصصادة فصصصي مصصصدل الحركصصصة المصصصرتبط بطريقتصصصي التسصصصخين افتصصصرم أن قياسصصصصصصات الصصصصصصزمن موزعصصصصصصة توزيعصصصصصصصا طبيعيصصصصصصا وأن االنحصصصصصص ارفين المعيصصصصصصاريين للمجمصصصصصصصوعتين متساويان. الحل الخطوة )(: تحديد الفرم الصفري والفرم البديل 3

132 H H A 0 : : )ال يوجد فرق بين المجتمعين فيما يخ متوسطي الزمن( )هناك فرق في متوسطي الزمن باستخدام نوعي التسخين ) t S t v ( x S x الخطوة )(: حساب إحصائية االختبار S ) S ( ) S 9(8) 9(9) S t أوال حساب S الخطوة )3(: تحديد منطقة القبول والرفم حيصصصصصصث أن الفصصصصصصرم البصصصصصصديل "ال يسصصصصصصاوي" فصصصصصصان لصصصصصصدينا منطقتصصصصصصي رفصصصصصصم. قيمصصصصصصة هصصصصصصي t. 05,8.0 الخطوة رقم )4(: الق ارر حيصصصث أن قيمصصصة إحصصصصائية االختبصصصار تقصصصع ضصصصمن منطقصصصة الصصصرفم فيننصصصا نصصصرفم الفصصصرم الصصصصفري الصصصذي يفيصصصد بأنصصصه ال يوجصصصد فصصصرق بصصصين نصصصوعي تمصصصارين التسصصصخين وبالتصصصالي نقبصصصل الفرم البديل بمستول معنوي %5. 3

133 التفسير العملي عنصصد مسصصتول معنويصصة 0.05 فيننصصا نسصصتنتج أن الفصصرق الحقيقصصي بصصين متوسصصطي الوقصصت ذو معنوية لطريقتصي التسصخين. فقصد حصافظ الصذكور الصذين اسصتخدموا التمصارين السصويدية علصى الزيادة في مدل الحركة بمدة أطول من الذكور الذين قصاموا بالتسصخين علصى الصد ارجات. ولكن حيث أن كال المجمصوعتين حافظصت علصى مصدل الزيصادة لمصدة تزيصد عصن سصاعة فلصن يكصصون هنصصاك معنويصصة عمليصصة للفصصرق بصصين المجمصصوعتين إذا كصصان االنقطصصاع أقصصل مصصن سصصاعة بصورة عامة. الحالة الثالثة: عندما تكون قيمتا غير متساويتين و غير معروفتين ولكن يفترض أنهما سصصنفترم أن كصصال المجتمعصصين موزعصصان توزيعصصا طبيعيصصا وأن قيمتصصا االنحصص ارفين المعيصصاريين للمجتمعين غير يمكصصن افتصصرم أن االنحصص ارفين يستخدم االنح ارفان المعياريصان يلزم التمييز بين موقفين واحدة معروفة كما هو في الحالصة الثانيصة S S و ولكصن سصوف نفتصرم أيضصا أنصه ال المعيصصاريين للمجتمعصصين متسصصاوية بشصصكل صصصحيح. سصصوف للعينات علصى التصوالي. و قيمتصي كبصديلين عصن الكبيرة واآلخر للعينات الصغيرة. العينات الكبيرة عنصصدما تكصصون إحصائية االختبار x S و Z التالية: فصصين العينصصات تعتبصصر كبيصصرة ومصصن الممكصصن اسصصتخدام Z x S مثال )4(: قامصت شصركة مستحضص ارت تجميصل بتجربصة فصي مختبرهصا لتحديصد االختالفصات العرقيصة فصي االسصصتجابة لتركيصصز عطصصر محصصدد. تصصصم تعصصريم 34 عضصصوا مصصن مجموعصصة عرقيصصصة و 37 عضصوا مصن مجموعصة عرقيصة أخصرل إلصى تركيصز مت ازيصد لعطصر وذلصك بشصكل منفصصل إلصى أن تصتم مالحظصة رد الفعصل الصذي يصنم عصن السصرور. وكانصت اسصتجابة الصص 34 عضصوا مصن 33

134 المجموعصة العرقيصة األولصصى فصي المتوسصط عنصصد تركيصز.90 جصزء مصصن المليصون بصصانح ارف معيصصصاري مقصصصداره.3 جصصصزء مصصصن المليصصصون. بينمصصصا كانصصصت اسصصصتجابة الصصصص 37 عضصصصوا مصصصن المجموعصصة العرقيصصة الثانيصصة فصصي المتوسصصط عنصصد تركيصصز.95 جصصزء مصصن المليصصون بصصانح ارف معياري مقداره 0.54 جزء من المليون. عند مستول معنوية 0.0 هل هنصاك فصرق فصي االسصتجابة لتركيصز العطصر بصين المجمصوعتين العصرقيتين افتصرم أن االسصتجابات لتركيصز العطر موزعة توزيعا طبيعيا. الحل الخطوة )(: تحديد الفرم الصفري والفرم البديل )االستجابات لتركيز العطر هي نفسها( )االستجابات لتركيز العطر ليست هي نفسها( H 0 : H : الخطوة )(: حساب إحصائية االختبار Z Z (.3) 34 x S x S (0.54) الخطوة )3(: تحدد منطقتي القبول والرفم حيث أن الفرم البديل "ال يساوي" فين لدينا منطقتي رفم. إن قيمة Z هي. Z

135 الخطوة )4(: الق ارر حيصصصصث أن قيمصصصصة إحصصصصصائية االختبصصصصار ال تقصصصصع ضصصصصمن منطقصصصصة الصصصصرفم فيننصصصصا ال نصصصصرفم الفرم الصفري القائل بان استجابات المجموعتين العرقيتين لتركيز العطصر ال تختلصف بمستول معنوية %. التفسير العملي عند مستول معنوية 0.0 نستنتج بأنه ليس هناك فرقا ممي از إحصائيا في استجابة المجموعتين العرقيتين لتركيز العطر. كانت التجربة جزء من محاولة لعمل منتجات لشريحتين مختلفتين من ش ارئح السوق لكن لم يحالف الحظ هذا النوع من العطر. العينات الصغيرة t 30 عنصصدما تكصصون أيصصا مصصن أو أو كالهمصصا أقصصل مصصن فيننصصا نسصصتخدم إحصصصائية الختبار الفرم t v x S x S حيث تمثل درجة الحرية إلحصائية االختبار وقيمة v هي القيمة األصغر من t v أو. القيمتان 35

136 مثال )5(: تقوم إدارة البحوث في شركة صنع العدسات البصرية بتجارب عكس األلوان لتحديد اختالفات اإلجهاد البصري لدل الرجال والنساء. تم تجميع سبع فرق يتكون كل فريق من 4 رجال وخمس مجموعات تتكون كل مجموعة من 4 نساء لممارسة لعبة "البلوت" في غرف منفصلة ولكنها بنفس اللمحات الجمالية. في العادة يلعب العبو البلوت بعدد 3 ورقة من أو ارق اللعب )8 ورقة شيريا أسود 8 ورقة سبيت أسود 8 ورقة ديمن الحم ارء 8 ورقة ها الحم ارء(. ولكن الباحثون عكسوا األلوان )8 ورقة شيريا حم ارء 8 ورقة سبيت حم ارء 8 ورقة ديمن السوداء 8 ورقة ها السوداء(. وط لب من الالعبين اللعب إلى أن يصاب أحدهم بصداع وقد تم تسجيل المدة الزمنية قبل إصابة أحد الالعبين بصداع. كان متوسط المجموعات السبعة من الرجال.49 ساعة بانح ارف معياري 0. ساعة أما المجموعات الخمس من النساء فقد كان المتوسط.34 ساعة بانح ارف معياري 0.79 ساعة. هل لعبت النساء مدة زمنية أطول بكثير مما لعبه الرجال وهل النساء يتكيفن مع عكس األلوان أفضل من الرجال وبالتالي يستطعن أن يلعبن مدة أطول. افترم أن أوقات اللعب موزعة توزيعا طبيعيا وأن مستول المعنوية هو الحل الخطوة )(: )وقتي اللعب تحديد الفرم الصفري والفرم البديل للنساء في المتوسط أقل من أو يساوي وقت اللعب للرجال( H : 0 )وقت اللعب للنساء في المتوسط أطول من وقت اللعب للرجا( H A : t v حساب إحصائية االختبار x S x S الخطوة )(: 36

137 t (0.) 7 (0.79) 5.34 الخطوة )3(: حيث أن الفرم قيمة تحدد منطقتي القبول والرفم من" "أقل البديل فين لدينا منطقة رفم واحد في الجانب األيسر و t الجدولية )الحرجة( هي t4,0.05 =.3 الخطوة )4(: الق ارر حيث أن قيمة إحصائية االختبار تقع ضمن منطقة الرفم فيننا نرفم الفرضية الصفرية ونقبل الفرم البديل القائل بأنه هناك فرق بمستول معنوية %5. التفسير العملي عند مستول معنوية 0.05 نستنتج أن الفرق المالحظ في زمن اللعب يعكس الفرق الحقيقي وحيث أن مقداره كبير بدرجة كافية وعليه فين الباحثين الذين افترضوا أن النساء س وف يتكيفن مع عكس األلوان بصورة أفضل من الرجال قد برهنوا بوجود دليل يؤكد ذلك. من المفيد أن نوضح عند هذه النقطة أن هناك فرق ذي معنوية إحصائية بين الرجال والنساء فيما يتعلق بالعالقة بين الصداع وعكس األلوان حيث أثبتنا أن النساء أكثر تكيفا من الرجال لعكس االلوان. 37

138 اختبار فرضيات حول الفرق بين متوسطي مجتمعين غير مستقلين )عينات مزدوجة( تم دراسة إجراءات اختبار فرضيات عندما يكون لدينا عينتين مستقلتين. ومع ذلك قد تحتاج إلى إجراء اختبار فرضيات على البيانات لعينتين غير مستقلة أي مرتبط أو مزدوجة. بعض األمثلة على العينات المزدوجة )غير المستقلة( تشمل: البيانات "قبل" و "بعد" حدث معين مثل وزن الشخص قبل برنامج للحمية وبعد تنفيذه. يتم إجراء اختبار فرضية حول الفرق بين متوسطي مجتمعين غير مستقلين بنفس الطرق التي تمت بها الفرق بين متوسطي مجتمعين مستقلين واالختالف االبرز هو في إحصائية االختبار وإجراءات االختبار كما يلي: H 0 : d 0 إج ارءات اختبار الفرضية ) H 0 : d H أو ( 0 0 : d 0 عندما يكون االنح ارفان المعياريان للمجتمعين معروفين بغم النظر عن حجم العينتين اختبار ذو طرف : 0 أو اختبار ذو طرفين H A : 0 d ) H 0 : d 0 ( H d 0 إحصائية االختبار S d حيث متوسط الفرق و الخطأ المعياري لمتوسط الفرق وتحسب بالمعادلة d التالية: منطقة الرفم: منطقة الرفم: t t ( /, ) )t t (, ) t t أو ( (, ) 38

139 شروط االختبار: الفرق بين المشاهدات موزع توزيعا طبيعيا. - تم اختيار العينات عشوائيا و المشاهدات غير مستقلة عن المشاهدات المقابلة لها. مثال: أردنا أن مقارنة ح اررة األرم مقابل ح اررة الجو وذلك من خالل أجهزة استشعار درجات الح اررة لتحديد درجة ح اررة األرم والتي تستخدم في وضع النماذج الز ارعية الخ. اجهزة التحسس البرية مكلفة في حين في الجو )يستخدم األقمار الصناعية أو الطائ ارت( األطوال الموجية لألشعة تحت الحم ارء قد تكون متحيزة لقد جمع بيانات درجة الح اررة من األرم والجو على عشرة مواقع و نريد التعرف على مدل وجود اختالف في درجات الح اررة بين الجو والبر استخدم مستول معنوية.% 5 الفرق درجات الحر ارة من الجو درجات الح اررة من األرم الموقع 39

140 الحل الخطوة األولى: الفرم الصفري والبديل H 0 : d 0 H : 0 A d الخطو الثانية: احصائية االختبار الخطوة الثالثة: تحديد منطقتي القبول والرفض: 40

141 t ( ,9) الخطوة الرابعة: القرار نرفض الفرض الصفري ونقبل الفرض البديل القائل بوجود فرق معنوي بين درجات الحرارة من األرض ومن الجو بمستوى معنوية %5. 4

142 اختبارات t T-TESTS يستخدم اختبار : t t ميكن تطبيقها علي االختبار عينة واحدة. جمموعات مستقلة. قياسات مكررة. يف حتديد ما إذا كانت فئة أو فئات معينة سحبت من اجملتمع نفسه أم ال. هناك ثالثة أنواع رئيسة فروض االختبار كل االختبارات اإلحصائية هلا فروض جيب حتقيقها قبل إجراء أي حتليل. هذه الشروط حتتاج إيل تقييم ألن دقة تفسري االختبار تعتمد علي مدى انتهاك هذه الشروط. بعض هذه الشروط تنطبق علي مجيع أنواع اختبارات والبعض اآلخر يكون أكثر حتديدا. الشروط اليت تنطبق على مجيع أنواع اختبارات t : t وحدة القياس جيب أن تكون وحدة القياس نسبية أو بفرتة.. المعاينة العشوائية جيب أن تكون املعاينة عشوائية ومن نفس اجملتمع.. طبيعة المتغير جيب أن تكون القيم يف اجملتمع موزعة توزيع طبيعي. 3. الفرض األول والثاين من اهتمامات الباحث يف التصميم وليس التحليل اإلحصائي. الفرض الثالث ميكن اختباره بعدة طرق خمتلفةكما مت اإلشارة إليها سابقا. مثال طورت شركة برتول كربي نوعا من البنزين الذي من املفروض أن يزيد من كفاءة احملرك. مت اختبار سيارة بإضافة هذه املادة وعدم إضافتها ومت تسجيل عدد الكيلومرت يف اللرت. بصرف النظر عما إذا كانت السيارة عادية أو أوتوماتيكية مت تسجيل رمز هلا حبيث = عادية (maual) و = أوتوماتيكية.(automatic) خالل احملاوالت األولية لالثنني والعشرين سيارة اليت مت اختبارها باملادة كان متوسط عدد الكيلومرت يف اللرت هو 0.5. ويهمنا أن نسأل األسئلة التالية:. هل السيارات يف احملاوالت احلالية أكثر كفاءة من احملاوالت السابقة اختبار t علي هذا السؤال.. هل كفاءة احملرك حتسنت بإضافة هذه املادة هذا هو اختبار لعينة واحدة سوف جتيب.repeated measures t-test. 4

143 3. هل كفاءة احملرك مع هذه املادة وبدوهنا ختتلف بني السيارات العادية واألوتوماتيكية هذا هو اختبار.idepedet group t-test ميكن إجياد هذه البيانات يف ملف Work6.sav من موقع الكتاب يف اإلنرتنت وهي واضحة يف الشكل التايل: اختبار t في حالة عينة واحدة Oe-sample t-test يستتتخدم هتتذا االختبتتار سحبت منه العينة له املتوسط املفرتض نفسه. عنتتد تتتوافر عينتتة واحتتدة متتن املشتترتكني ونريتتد معرفتتة متتا إذاكتتان متوستتط اجملتمتتع التتيت Oe-Sample T مث علي Test Compare Meas في حالة عينة واحدة إلنشاء اختبار t ا خرت قائمة.Aalyze انقر علي لفتح صندوق حوار.Oe-Sample T Test يتم اختيار املتغريات املطلوبة وليكن withadd مث النقر على الزر لتحريك هذه املتغريات إىل مربع.Test Variable(s) يف مربع Test Value يتمكتابة املتوسط وليكن

144 انقر علي.OK ميكن حتديد ما إذا كان هناك اختالف بني متوسط العينة ومتوسط الفرض وذلك من خالل قيمة t (df) ودرجات احلرية ومستوى املعنوية من طرفني. إذا كانت قيمة مستوى املعنوية من طرفني أقل من (0.05> 0.05 p ) فإن الفرق بني املتوسطني يكون مؤثرا. Oe-Sample Statistics N Mea Std. Deviatio Std. Error Mea Withadd Oe-Sample Test Test Value = 0.5 t df Sig. (-tailed) Mea Differece 95% Cofidece Iterval of the Differece Lower Upper withadd تتدل املخرجتتات علتتي أن هنتاك فرقتتا معنويتتا يفكفتاءة احملتترك بتتني احملاولتة احلاليتتة واحملاولتتة الستابقة. ينعتت أنكفتتاءة تترك السيارة يف احملاولة احلالية لهكفاءة أعلى من احملاولة األولية. T-test with more tha oe sample اختبار t في حالة أكثر من عينة 44

145 يف السابق مت استخدام اختبار t يف حالتة عينتة واحتدة ملعرفتة متا إذا كتان العينتة ستحبت متن اجملتمتع املفترتض نفسه أم ال. نستمر هنا يف فهم توزيعتات املعاينتة والستؤال عمتا إذاكانتت العينتتان العشتوائيتان متن اجملتمتع نفسته أو متن جمتمعني خمتلفتني. فإذاكانت العينات عشوائية ومن اجملتمع نفسه فإن أي اختالف بني اجملموعات ميكن أن يرجتع إىل االختالف يف املعاينة العشوائية. أما إذاكانت العينات عشوائية ومن جمتمعني خمتلفني فإن أي اختالف بني املتوسطات ميكن أن يرجع إىل استقاللية املتغري أو تأثري املعاجلة. اختبار t في حالة المقاييس المتكررة Repeated measures t اختبتتتتار يف حالتتتتة Repeated measures يطلتتتتق عليتتتته العينتتتتات وتتتتري املستتتتتقلة أو اختبتتتتار للعينتتتتات وتتتتري t املستقلة paired sample t-test ويستخدم عندما يكون لدينا بيانات من جمموعة واحدة فقط من املشرتكني. ينع آخر حيصل الفرد على قراءتني عند مستويني خمتلفتني من املتغريات املستقلة. البيانات اليت جتمع من املشرتكني أنفستهم يطلتتق عليهتتا داختتل اجملموعتتات الن املفتتردة نفستتها ختوتتع لتتنفس الشتتروط. الدراستتات القائمتتة علتتي تصتتميم قبتتل وبعتتد االختبار هي أكثر التحاليل استخداما الختبار املشرتك نفسه علي قراءة قبل االختبار t pretest يف حالتة.Repeated measures يف هتذه الدراستات لصتل متن وبعد فرتة أو معاجلة معينة لصل على قراءة أخرى بعد ذلك يف حتديد ما إذا كان الفرق بني املتوسطني يف العينتني متساويني أم خمتلفني.. نروب posttest قبل البدء يف اإلجابة على هذا السؤال جيتب التحقتق متن أن شتروط االختبتار ققتة. تتذكر متن فصتل شتروط االختبتار بتأن هنتاك شتروطا عامتتة تنطبتق علتى مجيتع أنتتواع اختبتارات واحد إضايف:. اختبتار t يف حالتة Repeated measures t لته شتترط. طبيعةة الفةرق بةين المجتمعةين جيتب أن يكتون الفترق بتني القتراءات يف العينتتني لته توزيتع طبيعتي. إذاكتان حجم العينة أكرب من 30 فإننا ال هنتم هبذا الشرط. الختبتتتار هتتتذا الشتتترط نستتتتخدم اإلجتتتراءات الستتتابقة نفستتتها يف حالتتتة العينتتتة الواحتتتدة. لكتتتن بستتتبب وجتتتود عينتتتتني وتتتري مستقلتني فإننا لتاج إيل اختبار طبيعةكل متغري علي حدة ويسمح ذلك بالقول بان الفرق بني املتغريين سوف يكون لته توزيتع طبيعتي أيوتا. ينجترد حتقتق الشترط الطبيعتي لكتريل متن املتغتريين ) posttest ) pretest & فإننتا ميكتن إجتراء اختبار t يف حالة.Repeated measures في حالة Repeated measures إلنشاء اختبار t ا خرت قائمة.Aalyze Compare Meas مث علي انقر علي. Paired-Samples T لفتح صندوق حوارTest Test Paired-Samples T يتم اختيار املتغريات املطلوبة ولتكن without مث النقر withadd و على الزر لتحريك هذه املتغريات إىل مربع.Paired Variables 45

146 انقر علي.OK Paired Samples Statistics Mea N Std. Deviatio Std. Error Mea Pair without withadd Paired Samples Correlatios N Correlatio Sig. Pair without & withadd Paired Samples Test Paired Differeces Mea Std. Deviatio Std. Error Mea 95% Cofidece Iterval of the Differece t df Sig. (- tailed) Lower Upper Pair without withadd بالنظر إىل قيمة ودرجات احلرية ومستتوى املعنويتة متن طترفني ميكتن حتديتد متا إذا كانتت اجملموعتتان متن اجملتمتع نفسه أم ال. انسب طريقة لتحديد املعنوية هو إجيتاد القيمتة احلرجتة باستتخدام درجتات احلريتة متن جتدول t (df) خلتتتف أي كتتتتاب إحصتتتائي. ميكتتتن أيوتتتا حتديتتتد املعنويتتتة متتتن ختتتالل املستتتتوي االحتمتتتايل واملتتا يف (p) املخصتتتن متتتن طتتترفني t 46

147 للمعنوية. إذاكانت قيمة P أقل من قيمة احملددة فإن قيمة t احملسوبة تكون معنوية. تدل فرتة الثقتة %95 علتى أن 95 يف املئة من الفرق احلقيقي بني متوسطي اجملتمعني سوف يقع داخل هذه الفرتة. ميكن أن نري من املخرجات أن هناك فرقتا معنويتا بتنيكفتاءة احملترك عنتد إضتافة املتادة أو عتدم إضتافتها. وإضتافة املتادة حتسن حتسنا ملحوظا من عدد الكيلومرت يف اللرت الواحد. اختبار t في حالة العينات المستقلة Idepedet groups من األنسب استخدم اختبار t يف حالة العينتات املستتقلة عنتدما يكتونكتل املشترتكني خمتلفتني يف املتغتريين ( العينتتني(. أي عنتتدما يكتتون املشتترتكون يف العينتتة األوىل خمتلفتتني عتتن املشتترتكني يف العينتتة األختترى. بصتتفة عامتتة يطلتتق علتتى هتتذا التصميم بني اجملموعات. مرة أخرى قد نروب يف حتديد عما إذاكان الفرق بني املتوسطني يف العينتني معنويا أم ال. اختبار يف حالة العينات املستقلة له شرطان إضافيان: استقالل العينتين يظهر املشرتكون يف جمموعة واحدة فقط واجملموعتان وري مرتبطتني. تجانس التباين جيب أن تكون اجملموعات من جمتمع له تباين متساريو. الختبار التجانس يستخدم برنامج SPSS اختبتتار Levee لتستتاوي التبتتاين. إذاكتتان هتتذا االختبتتار معنويتتا (05.>p) فإننتتا نتترفض الفتترض العدمي ونقبل البديل القائل بأن التباينات وري متساوية. ونلجأ يف هذه احلالة إىل تقدير عدم تساوي التباين. إذاكتتان هتتذا االختبتتار وتتري معنتتوي (p>.05) فإننتتا نقبتتل الفتترض العتتدمي القائتتل بأنتته لتتيس هنتتاك اختتتالف ملحوظ بني التباينات. ونلجأ يف هتذه احلالتة إىل تقتدير تستاوي التبتاين. هتذه التفستريات تكتون أكثتر منطقيتة عندما نلجأ إىل خمرجات اختبار t يف حالة العينات املستقلة. t.. الفتترض األول يف يتتد الباحتتث بينمتتا الفتترض الثتتاين تتترب يف حتليتتل العينتتات املستتتقلة. قبتتل التحليتتل جيتتب إجتتراء اختبتتار التوزيع الطبيعي علي البيانات. وبسبب وجود عينتني خمتلفتني فإننا لتاج إىل اختبار طبيعةكل متغري على حدة. وميكن إجراء ذلك من خالل صندوق حوار Explore واستخدام خيارات.Factor List الستعراض طبيعة البيانات ا خرت قائمة.Aalyze انقر علي Descriptive Statistics مث علي Explore صندوق حوارExplore without. يتم اختيار املتغريات وري املستقلة ولتكن النقر على الزر املتغريات إىل مربع لتحريك هذه املتغريات إىل مربع يتم اختيار املتغري withadd و.Depedet List cartype.factor List لفتح مث مث النقر على الزر لتحريك هذه 47

148 انقر علي.OK 48

149 Descriptives WITHOUT CARTYPE maual Mea 95% Cof idece Iterv al for Mea Lower Boud Upper Boud Statistic Std. Error automatic 5% Trim med Mea Media Variace Std. Dev iatio Miimum Maximum Rage Iterquartile Rage Skewess Kurtosis Mea 95% Cof idece Iterv al for Mea Lower Boud Upper Boud WITHADD maual 5% Trim med Mea Media Variace Std. Dev iatio Miimum Maximum Rage Iterquartile Rage Skewess Kurtosis Mea 95% Cof idece Iterv al for Mea Lower Boud Upper Boud automatic 5% Trim med Mea Media Variace Std. Dev iatio Miimum Maximum Rage Iterquartile Rage Skewess Kurtosis Mea 95% Cof idece Iterv al for Mea Lower Boud Upper Boud Steam ad leaf 5% Trim med Mea Media Variace Std. Dev iatio Miimum Maximum Rage Iterquartile Rage Skewess Kurtosis من الواضح من اإلحصاء الوصفي واملخرجات األخرى مثل رسم الغصن والورقة وكذلك ( Boxplots مل تعرض نتائجها هنا( عدم وجود انتهاك للشرط الطبيعي. 49

150 إلنشاء اختبار t في حالة العينات المستقلة ا خرت قائمة.Aalyze انقر علي Compare Meas T Test لفتح صندوق حوار.Idepedet-Samples T Test يتم اختيار املتغري املطلوب اختباره وليكن مث علي Idepedet-Samples without مث النقر على الزر لتحريك هذا املتغري إىل مربع.Test Variables يتم اختيار املتغري cartype مث النقر على الزر لتحريك هذه املتغري إىل مربع.Groupig Variable انقر على Defie Groups لفتح صندوق احلوار الفرعي Defie.Groups يف مربع القيمة الثانية يف املربع Groups ولتكن. Groups نكتب أقل قيمة للمتغري ولتكن مث ندخل 50

151 انقر Cotiue مث علي.OK سوف تالحظ أن األوامر يف اختبار وري املستقلة. يف حالة اختبار مقارنةكفاءة احملرك. t يف حالة العينات املستقلة خمتلف عن األوامر يف اختبار t t يف حالة العينات للعينات املستقلة هناك متغري آخر للتمييز بني اجملموعة األوىل واجملموعة الثانية عند Group Statistics cartype N Mea Std. Deviatio Std. Error Mea without maual automatic Idepedet Samples Test Levee's Test for Equality of Variaces t-test for Equality of Meas Std. 95% Cofidece F Sig. t df Sig. (- tailed) Mea Differece Error Differec Iterval of the Differece e Lower Upper without Equal variaces assumed Equal variaces ot assumed بفرض أن اختبار ميكن استخدام قيمة Levee's ودرجات احلرية t له احتمال أكرب من 0.05 فإننا ميكن افرتاض أن تباين اجملتمعني نسبيا متسا ريو. لذا (df) واملعنوية من طرفني (Sig.(-tail)) إذا كان هناك اختالف حقيقي يف أنواع السيارات. املعنوية من طرفني للمتغري يف حالة تساوي التباين لتحديد عما )without( تدل علي عدم املعنوية حيث 0.05< p. وبالتايل نقبل الفرض العدمي ونرفض البديل أي ان العينتني جيب أن تكون من اجملتمع نفسه لعدم وجود اختالفات ملحوظة. بالروم من أننا ميكن القيام بطريقتني خمتلفتني الختبارات t طريقتني منفصلتني. باستخدام أمر واحد فإنه من أجل التوضيح قد أجنزنا 5

152 بالنسبة للمتغري ودرجات احلرية withadd جند اختبار Levee's وري مؤثر وهذا يفسر تساوي التباين. وبالرجوع إيل قيمة t (df) واملعنوية من طرفني (Sig.(-tail)) مل يظهر اختالف معنوية (0.05<p). أي إنه ليس هناك اختالف ملحوظ يف كفاءة احملرك بني السيارات العادية واألوتوماتيكية مع إضافة أو عدم إضافة املادة. مالحظات عامة تذكر أن الفروض يجب ان تختبر قبل التحليل. فرض وحدة القياس والمعاينة العشوائية هي مسئولية الباحث. في حين أختبار التوزيع الطبيعي يمكن تنفيذه بعدة طرق كما تم اإلشارة اليه في السابق. في حالة المقاييس المتكررة, هناك فرض اضافي بأن الفرق بين القيم له التوزيع الطبيعي. أما في حالة المجموعات المستقلة فإن فرض استقاللية المجموعات وكذلك تجانس التباين يجب تحقيقها. يتم إجراء Oe sample T Test في حالة وجود بيانات لعينة واحدة ونريد تحديد ما إذا كان متوسط المجتمع له قيمة فرضية محددة أم ال. يتم إجراء ( Repeated measures T Test يطلق عليه ايضا أسم العينات غير المستقلة أو أختبار T المزدوج أو التصميم داخل المجموعات( في حالة وجود بيانات لمجموعة واحدة من المشتركين, حيث يتم اخذ قراءتين من كل مشترك لمستويين مختلفين من المتغيرات المستقلة. ونريد تحديد ما إذا كان القراءتين من نفس المجتمع أم ال. إذا تم قبول انهم من نفس المجتمع, فان ذلك يعنى ان االختالف يرجع الى التغير في عشوائية المعاينة. اما إذا تم رفض انهم من نفس المجتمع, فان ذلك يعنى ان االختالف يرجع الى أن العينتين مستقلتين او الى تأثير المعالجة. يتم إجراء a idepedet groups T Test حالة اختالف المشتركين في كال القراءتين. ( يطلق عليه ايضا أسم التصميم بين المجموعات( في 5

153 تمرين : شركة كبيرة إلنتاج البترول طورت مادة جديد إلضافتها الى وقود السيارات ألجل زيادة كفاءة المحركات. اختيرت سيارة وملئت بالوقود مرة بدون إضافة المادة ومرة بإضافة المادة ومن ثم قيست عدد الكيلومترات لكل لتر بنزين. كذلك سجلت ما إذا كانت السيارة ذات ناقل حركة يدوي أو آلي. نوع السيارة بدون المادة بالمادة 7 نوع السيارة بدون المادة بالمادة 6 إدخال البيانات السابقة في برنامج SPSS وتسمية المتغي ارت على أن يكون نوع المطلوب: ) (without( وبدون المادة )maual=,automatic=( السيارة )car( وبالمادة.)with( ( هل يختلف متوسط عدد الكيلومت ارت لكل لتر بنزين للسيا ارت التي تستخدم المادة المضافة عن 0.5 كم هل تحسنت كفاءة المحركات باستخدام المادة المضافة هل كفاءة المحركات تختلف باختالف نوع السيارة عند استخدام المادة المضافة )3 )4 أحفظ البيانات في ملف.output وكذلك المخرجات car )5 53

154 حل الفترة الحل :), X s 3. 8 متوسط عدد الكيلومترات لكل لتر بنزين للسيارات التي تستخدم المادة المضافة H H أ( تحديد فرض العدم والفرض البديل: 0 الوسط المفترض 0.5 ( x 0 ) t 3. 6 s 3.8 ب( حساب إحصائية االختبار: ج ) تحديد منطقتي القبول والرفض: t, t 0.05,. 08 القرار: د( نرفض فرض العدم, ونقبل الفرض البديل القائل بأن هناك اختالف في متوسط عدد الكيلومترات لكل لتر بنزين عن 0.5 كم بمستوى معنوية %. 5 54

155 حل الفقرة 3(: هل تحسنت إداء المحركات بعد استخدام المادة المضافة أي هل عندما استخدمنا المادة المضافة نتج عن ذلك في زيادة عدد الكيلومترات لكل لتر بنزين بعد إضافتها مقارنة قبل إضافتها لذا سوف نقارن بين متوسط عدد الكيلومترات بإضافة مع :pair متوسط عدد الكيلومترات بدون اضافة الكيلومترات وعليه فإن لدينا اختبار الفرق بين متوسطي عينتين غير مستقلتين sample t test أ( تحديد فرض العدم و الفرض البديل: H H 0 : 0 d : 0 d d حيث ب( حساب إحصائية االختبار: d t d i d s d s d d i d i t ج ) تحديد منطقتي القبول والرفض 55

156 t t, (0.05,). 7 د( القرار: نرفض الفرض الصفري و نقبل الفرض البديل القائل بأن هناك تحسن في كفاءة المحركات بعد استخدام المادة المضافة بمستوى معنوية 5%. حل الفقرة 4( هل هناك اختالف بين نوعي السيارات )ناقل حركة عادى وألي( من حيث كفاءة المحركات بمعنى اخر هل متوسطي عدد الكيلومترات التي لنوعي السيارات مختلف بالمادة المضافة وهنا لدينا عينتين مستقلتين )نوعي السيارات( لذا فنقوم باختبار فرض حول الفرق بين متوسطين مستقلين: أ( تحديد فرض العدم و الفرض البديل: 56

157 t v H H 0 : : x S x S ب( حساب احصائية االختبار: t (.063) (3.35) ت( تحديد منطقتين القبول والرفض: ث( القرار: نقبل الفرض الصفري القائل بعدم وجود اختالف بين متوسطي عدد الكيلومترات لنوعي السيارات بإضافة المادة حيث أن كفاءة المحركات لم تتغير بتغير نوع السيارة بمستوى معنوية %5. 57

158 اختبار االستقالل Idepedet Test (Associatio test) لمعرفة وجود عالقة بين متغيرين للبيانات الوصفية )الترتيبية وغير الترتيبية(. ( تحديد فرض العدم البديل: H H 0 ; : المتغيرين مستقلين )ال يوجد عالقة بينهما( المتغيرين غير مستقلين )يوجد عالقة بينهما( O jk j k E jk E jk ( حساب إحصائية االختبار: = J عدد الصفوف = K عدد األعمدة E jk C k R j المجموع الهامشي للعمود k المجموع الهامشي للصف j C R k j 3) تحديد منطقتي القبول والرفض:, J * k 58

159 4( القرار: إذا كانت قيمة احصائية االختبار أكبر من قيمة مربع كاي الجدولية نرفض الفرض الصفري ونقبل الفرض البديل القائل بوجود عالقة بين المتغيرين بمستوي معنوية α والعكس صحيح. مالحظات مهمة: - يجب أن يكون على األقل %80 من القيم المتوقعة أكبر من أو تساوي 5 ويمكن أن يتم حل هذه المشكلة إذا من خالل دمج عموديين أو صفيين لزياادة القيماة المتوقعاة فاي الخالياا التاي تقل عن خمسة على أن يكون عدد الصفوف أكثر من واألعمدة أكثر من. - أن هذا االختبار يقيس فقط وجود أو عدم وجود عالقة بين متغيرين وصفيين وال يقايس قاوة هذه العالقة. 3- يجب أن تكون القيم المستخدمة تعبر عن التكرارات في كل خلية وال يمكان اساتخدام النساب أو الكسور إلجراء هذا االختبار. 4- ال يحب أن ال يقل عدد الصفوف عن صفين وكذلك عدد األعمدة عموديين. تمرين ( :) في شركة ما أراد المدير معرفة ما إذا كان هناك عالقة بين المؤهل العلمي للعاملين ودرجة إتقانهم للعمل.ولذلك سحبت عينة من 00 من العاملين فوجد أنهم موزعين حسب التصنيف العلمي ودرجة إتقان العمل كما هو موضح في الجدول التالي: تقييم األداء المؤهل المجموع جامعي غير جامعي جيد س ئي المجموع 40 والمطلوب: 59

160 إدخال البيانات في برنامج SPSS كثالث متغيرات األداء والمؤهل والتوزيع. اختبر الفرض القائل بعدم وجود عالقة بين المتغيرين استخدم مستوى معنوية 0 % الحل ) ) H H 0 : : الفرض الصفري والفرض والبديل: ال يو جد عالقة بين المؤهل ودرجة إتقان العمل يوجد عالقة بين المؤهل ودرجة إتقان العمل ) E E E E O jk j k E jk E jk إحصائية االختبار: E C k jk R j ) ) 3 تحديد منطقتي القبول والرفض : 60

161 0..0, * (0.0,). 7 ) 4 القرار: معنوية نقبل فرض الصفري القائل بأنه ال يوجد عالقة بين المؤهل العلمي ودرجة إتقان العمل بمستوى.% 0 لحل التمرين السابق باستخدام :SPSS إدخال البيانات كثالث متغيرات: - متغير التكرارات وهي القيم داخل الجدول التي تمثل قيمة كل خلية )تقاطع كل صف مع كل عمود( ويمكن تسمية ب. Frequecy - المتغير الذي يمثل الصفوف وهو "تقييم اإلداء" يمكن تسمية ب Performace وعنونة االداء أما "جيد" )أو )"good" أو "سئ" )أو " )"bad واألول يعطي قيمة "" والثاني "" وذلك كترميز لهما. 3- المتغير الذي يمثل االعمدة وهو "المؤهل" ويمكن تسمية ب Qualificatio وعنونة المؤهل أما "جامعي ).أو )"uiversity" أو "ليس جامعي" )أو Uiversity" )"o ويعطي قيمة "" لألول و "" للثاني وذلك كترميز لهما. كما هو موضح: ثم يتم ابالغ البرنامج أن المتغير Frequecy هو عبارة عن تكرارات من خالل: Data Weight Cases Frequecy 6

162 ثم يتم تعريف المتغير الذي يمثل الصفوف " " والمتغير الذي يمثل األعمدة " " وذلك من خالل: Aalyze Descriptive Statistics Crosstabs وذلك لنحصل على الصندوق التالي: وبعد ذلك يتم اختيار متغير performace إلى الصندوق rows واختيار المتغير Chi-square ثم اختيار statistics ثم الضغط على colums إلى الصندوق qualificatio ثم cotiue ثم : ok النتائج هي كما يلي:, 6

163 يتضح أن قيمة p-value=0.8 أكبر من 0.0 لذلك سنقبل الفرض الصفري القائل بعدم وجود عالقة بين المؤهل العلمي ودرجة اتقان العمل عند مستوى معنوية %5. تمرين )( أخذت عينة تتكون من 360 طالب في كلية العلوم اإلدارية وجرى تقسيمهم حسب مقدرتهم في مادتي الرياضيات واإلحصاء حسب الجدول التالي كما يلي: في المقدرة منخفضة اإلحصاء 63 منخفضة 58 متوسطة 4 عالية 35 المجموع والمطلوب: المجموع المقدرة في الرياضيات عالية متوسطة

164 إدخال البيانات في برنامج SPSS كثالث متغيرات, المقدرة في اإلحصاء والمقدرة في الرياضيات وعدد الطالب. اختبر الفرض القائل بوجود عالقة بين المقدرة في اإلحصاء والمقدرة في الرياضيات عند مستوى معنوية % ) ) 64

165 4- تحليل التباين في اتجاه واحد Oe way Aalysis of variace (ANOVA) متى نستخدم تحليل التباين: عندما نريد أن نقارن بين متوسطات ألكثر من مجتمعين مستقلين وبالتالي لدينا أكثر من عينتين أفترض أن لدينا متغير مستقل واحد. متغير تابع واحد. مالحظة: K مجتمع ولدينا: H H 0 : مستقلتين, ونريد معرفة ما إذا كانت متوسطات المجتمعات متساوية. :... k إذا كنا نريد أن نحوله إلى اختبار )تي( نعمل مقارنة بين كل مجتمعين: H H 0 : : لدينا مشكلة يمكن حلها باستخدام اختبار )تي( للعينات المستقلة وذلك عن طريق إجراء االختبار عدد من المرات يساوي: k C k!! k! فإذا كان لدينا 5) = k :( فإننا سنستخدم اختبارات )تي( 0 مرات وهذا عمل شاق لذلك جاء تحليل التباين ليحل هذه المشكلة عن طريق اختبار على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية واحد فقط. شروط صحة تحليل التباين: االستقاللية في سحب قيم العينات. المشاهدات )القيم( تتوزع توزيعا طبيعيا )أو قريب من الطبيعي(. كل المجتمعات لها التباين نفسه وهذا يمكن تحقيقه جزئيا عن طريق استخدام حجم العينات المسحوبة نفسها من جميع المجتمعات. 65

166 H H 0 :... k على األقل زوج من التباينات غير متساوية : المستوى k المستوى 3 المستوى لمستوى مشاهدات مشاهدات مشاهدات مشاهدات k T T T 3 T k مالحظات: من األفضل أن يكون أعداد األشخاص أو المشاهدات المسحوبة من المجتمعات متساوية وذلك للسعي لتحقيق الشرط الثالث من شروط التحليل. يجب تثبيت كل الظروف ما عدا متغير واحد )ولذلك استخدمنا ذو اتجاه واحد( ولو كان هناك متغيرين )نستخدم ذو اتجاهين(. مجموع مربعات المعالجات SSF T T T T... k مجموع المربعات الكلي SST x T SSR SST SSF مجموع مربعا األخطاء 66

167 T x T x T Tk T k k... T k حيث : جدول تحليل التباين ANOVA Table متوسط مجموع المربعات جموع المربعات درجات الحرية df SS MS F المعالجات األخطاء الكلية k k SSF SSR SST SSF MSF k SSR MSR k MSF F MSR نقارن بين قيمة )أف( المحسوبة من الجدول أعاله وقيمة )أف( الجدولية F k, k, تمرين أراد صاحب مصنع ألجهزة الراديو مقارنة أربع أنواع من البطاريات الصغيرة المستخدمة في أجهزة الراديو. ومن المعلوم بالخبرة السابقة أن عمر البطاريات تتوزع توزيعا طبيعيا. يراد معرفة ما إذا كان هناك اختالفات معنوية بين متوسط عمر البطاريات من األنواع األربعة ولذلك سحبت 4 بطارية )ستة من كل نوع( ووضعت في جهاز لسحب طاقة البطارية وتسجيل عمر :)%5 البطارية. الجدول التالي يوضح العمر بالساعات )مستوى المعنوية النوع األول الثاني الثالث الرابع

168 المجموع المتوسط التباين SPSS المطلوب: ( إدخال البيانات السابقة في برنامج وتسمية المتغيرات على أن يكون نوع البطارية )brad) )brad=,brad=,brad3=3,brad4=4( وعمر البطارية.)lifetime( ( هل هناك اختالف معنوي بين تباينات مجتمعات أعمار البطاريات األربعة هل هناك 3( اختالف معنوي بين متوسطات أعمار البطاريات لألنواع األربع 4( أين تقع االختالفات المعنوية بين متوسطات أعمار البطاريات لألنواع األربع حل الفقرة 3 باستخدام األلة الحاسبة الحل أوال: الحل باستخدام SPSS لإلجابة عن الفقرة الثانية فانه يمكن عمل اختبار تحليل التباين من خالل Aalyze----- Compare Meas-- Oe-Way ANOVA ثم يتم نقل المتغير "عمر البطارية" lifetime إلى Depedet list العتبارة متغير تابع والمتغير "نوع البطارية" brad ينقل إلى Factor ليتم اعبتارة متغير مستقل وثم يتم اختيار Optios وذلك الختبار تساوي تباينات المجتمعات 68

169 وثم يتم اختيار Optios وذلك الختبار تساوي تباينات المجتمعات: ثم الضغط على cotiue ثم ok لنحصل على النتائج التالية: بيانات على األوساط الحسابية واالنحرافات المعيارية واألخطاء المعيارية وفترات الثقة لألوساط الحسابية وأقل وأكبر قيمة لكل نوع من انواع البطاريات المختلفة: حل الفقرة الثانية من المثال : الجدول إدناه الختبار مدى تساوي تباينات انواع البطاريات المختلفة: H H 0 : :... k على األقل زوج من التباينات غير متساوية وحيث أن قيمة: Sig=p-value=0.548 > 0.05 فإننا نقبل الفرض الصفري القائل بان تباينات المجتمعات متساوية عند مستوى معنوية %. 5 Test of Homogeeity of Variaces 69

170 lifetime Levee Statistic df df Sig حل الفقرة الثالثة: والجدول ANOVA والذي من خالله يتم اختبار مدى تساوي المتوسطات للمجتمعات األربعة: أدناه هو جدول H :... lifetime H Sum of Squares 0 : ANOVA k على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية Mea Square F Sig. df Betwee Groups Withi Groups Total Sig=p-value= من خالل الجدول نجد أن: وعلية يمكن رفض الفرض الصفري وقبول الفرض البديل القائل أن هناك على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية عند مستوى معنوية %. 5 حل الفقرة الرابعة: بما اننا وجدنا في الفقرة 3 أن هناك على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية فاننا قد نرغب في التعرف على هذه المتوسطات من خالل عمل سلسلة من االختبارات المختلفة بين المتوسطات األربعة للتعرف أين يقع االختالف بين المتوسطات عليه يمكن عمل ذلك باستخدام :SPSS ANALYZE-COMPARE MEANS-ONE-WAY ANOVA ومن POST HOC والذي يعني األختبارات البعدية ومن هذه الصندوق يجب أن نفرق بين هذه الصندوق يتم اختيار مجموعتين من االختبارات وهي األختبارات التي EQUAL VARIANCES ASSUMED تفترض تساوي التباينات والمجموعة االخرى التي ال تفترض تساوي EQUAL VARIANCES NOT ASSUMED 70

171 .SCEFFE وحيث اننا وجدنا في الفقرة ان التباينات متساوية فاننا سنسخدم اختبا ر وعليه سيكون لدينا جدول مقارنات بين المتوسطات المختلفة باستخدام هذا االختبار : الجدول يعطي الفرق بين المتوسطات المختلفة والخطأ المعياري وقيمة P-VALUE وعلية يمكن القول بان هناك اختالفات معنوية بين النوع األول وكل من النوع الثالث والرابع وكذلك بين النوع الثاني والنوع الثالث والرابع. 7

172 Scheffe a Lifetime Battary brads N Subset for alpha = 0.05 brad brad brad brad Sig Meas for groups i homogeeous subsets are displayed. a. Uses Harmoic Mea Sample Size = والجدول أعاله يؤكد هذه النتيجة من خالل اإلشارة إلى أن النوع األول والثاني متماثلين والنوع الثالث والربع متماثلين. حل الفقرة الخامسة من المثال باستخدام االلة الحاسبة: H H 0 :... : k ( تحديد الفرض الصفري والبديل متوسطا ت العمر االفتراضي للبطاريات األربع متساوية يوجد على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية (حساب إحصائية االختبار SSF SST... 4 مشاهدة = = T xi T T T3 T4 = = 870 T x T... T T 4 SSR SST SSF = =

173 df SS MS F المعالجات األخطاء الكلية (تحديد منطقتي القبول والرفض F توزيع )أف( لها درجتي حرية بسط ومقام عكس التوزيعات األخرى 3,0, (القرار: نرفض الفرض الصفري و نقبل الفرض البديل القائل بأن هناك اختالف في أعمار بمستوى تمرين معنوية البطاريات لنوعين على أقل أجريت دراسة لمعرفة الفرق بين تأثير ثالث طرق مختلفة لتدريس مبادئ الحساب لطالب المرحلة األولى االبتدائية. اختير 7 تلميذا عشوائيا. تم تخصيص 9 تالميذ منهم بطريقة عشوائية لكل طريقة من الطرق المختلفة السابقة. تم اختبار جميع التالميذ بعد فترة معينة وكانت نتائج االختبارات) علما بان درجات التالميذ تتبع التوزيع الطبيعي( كما في الجدول التالي: الطريقة األولى الطريقة الثانية الطريقة الثالثة 73

174 والمطلوب : إدخال البيانات السابقة في برنامج SPSS وتسمية المتغيرات على أن يكون طريقة التدريس.)score( ودرجة التلميذ )method=, method=, method3=3( )method) هل هناك اختالف معنوي بين تباينات درجات التالميذ لطرق التدريس الثالث هل هناك اختالف معنوي بين متوسطات درجات التالميذ عند استخدام طرق التدريس الثالث أين تقع االختالفات المعنوية بين متوسطات درجات التالميذ لطرق التدريس أحفظ البيانات في ملف methods وكذلك المخرجات.output 74

175 تحليل التباين ذو اتجاهين إذا كانت العينات مستقلةtهو امتداد لتوزيع متغيرين مستقلين أو أكثر. متغيرين و تابع واحد. متغير مستقل للعمدة J متغير مستقل للصفوف... J. J... i i i ij i....j.. هل هناك اختالف معنوي بالنسبة للمتغير المستقل لألعمدة ) تحديد الفرض الصفري و الفرض البديل H H 0 : J على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية : H H 0 :..... على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية : i. هل هناك اختالف معنوي بالنسبة للمتغير المستقل للصفوف الشروط : نفس الشروط في حالة تحليل التباين في اتجاه واحد. i j... ij ij مجموع مربعات قيم الخاليا Iعدد الصفوف = Jعدد األعمدة = 75

176 ) حساب إحصائية االختبار : األعمدة SSC J j. J J الصفوف SSR i i. i J مجموع المربعات الكلية SST i j.. ij مجموع المربعات للصفوف SST r j J j... مجموع المربعات لألعمدة مجموع مربعات األخطاء متوسط المربعات للصفوف متوسط المربعات لألعمدة متوسط مربعات األخطاء SST r J j i. j.. SSE SST SST r SST SST MST MSE r r SSTr I SSTr J SSE r I J F I, J, I MST r MSE F J, J, I MST r MSE ) تحديد منطقتي القبول والرفض: ) 4 القرار 76

177 تمرين 4 افترض أن شركة ما تستخدم أربع ماكينات مختلفة يعمل عليها ثالثة عمال مختلفين. ترغب إدارة الشركة في معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي ينتجها العمال الثالثة تعتبر فروقا معنوية وفي معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي تنتجها الماكينات األربعة تعتبر فروقا معنوية. ولتحقيق هذه األغراض طلبت الشركة من العمال أن يقوم كل منهم بالعمل على كل ماكينة من هذه الماكينات لمدة أسبوع حيث تم تسجيل متوسط عدد الوحدات المعيبة. ويبين الجدول التالي هذه التجربة: العامل الماكينة 4 المجموع المجموع 9.6 والمطلوب: إدخال البيانات السابقة في SPSS كثالثة متغيرات متوسط الوحدات المعيبة.(machies) والمكائن (labour) والعمال (defects) هل تدل هذه البيانات على عدم وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيية للعمال الثالثة إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع هل تدل هذه البيانات على وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيبة للماكينات األربع إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع أحفظ البيانات والنتائج. ) ) )3 )4 / هل هناك اختالف معنوي في إنتاج الوحدات المعيبة بين العمال الثالثة H H 0 : 3 على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية : 77

178 / هل هناك اختالف معنوي في إنتاج الوحدات المعيبة بين المكائن األربعة 3 )في متوسط المكائن( H H 0 : a b c d على األقل زوج من المتوسطات غير متساوية : i j ij = J * i = 3 * 4 = SSC i I j j i SSC J SST 7.8 i. i.. SSTr J j j.. SSTr I SSE SST SST r SSTr SSTr MSTr I SSTr MSTr.4453 J 78

179 MSE I J MSTr F, MSE F MST MSE SSE r 3, للصفوف لألعمدة. هل يوجد اختالف معنوي بين العمال نرفض فرض العدم ونقبل الفرض البديل القائل بأن هناك اختالف معنوي في متوسط انتاج %. 5 الوحدات المعيبة بين العمال بمستوى معنوية. هل هناك اختالف معنوي بين المكائن نقبل فرض العدم القائل بأنه ليس هناك اختالف معنوي في إنتاج الوحدات المعيبة للمكائن المختلفة بمستوى معنوية.% 5 79

180 تمرين 5 افترض أن شركة ما تستخدم أربع ماكينات مختلفة يعمل عليها ثالثة عمال مختلفين. ترغب إدارة الشركة في معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي ينتجها العمال الثالثة تعتبر فروقا معنوية, وفي معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي تنتجها الماكينات األربعة تعتبر فروقا معنوية. ولتحقيق هذه األغراض طلبت الشركة من العمال أن يقوم كل منهم بالعمل على كل ماكينة من هذه الماكينات لمدة أسبوع حيث تم تسجيل متوسط عدد الوحدات المعيبة. ويبين الجدول التالي هذه التجربة: العامل الماكينة 4 المجموع المجموع 9.6 والمطلوب: ) ) )3 )4 إدخال البيانات السابقة في SPSS كثالثة متغيرات متوسط الوحدات المعيبة (defects) والعمال.(machies) والمكائن (labour) هل تدل هذه البيانات على عدم وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيية للعمال الثالثة إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع هل تدل هذه البيانات على وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيبة للماكينات األربع إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع احفظ البيانات والنتائج. تمرين 6 افترض أن إحدى الشركات الصناعية قامت بتقسيم سوق مبيعاتها الى ثالث مناطق, ومندوبي مبيعاتها الى ثالث مجموعات عمريه. ترغب إدارة الشركة في معرفة ما إذا كان هناك اختالف معنوي في المبيعات في المناطق الثالث, وفي المجموعات العمريه الثالث. البيانات التالية تمثل المبيعات بآالف الرياالت لمدة أسبوعين. المجموعات العمريه المناطق C C C 6 R R R 3 إدخال البيانات في برنامج SPSS كثالث متغيرات, المبيعات والمناطق والمجموعات العمرية. اختبر الفرض القائل بعدم وجود فروق معنوية بين مبيعات المناطق إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع هل هناك فرو قات معنوية في حجم المبيعات للفئات العمرية المختلفة إذا كان هناك فروق معنوية أين تقع أحفظ البيانات والنتائج. والمطلوب: ) ) )3 )4 80

181 تمرين 7 افترض أن شركة ما تستخدم أربع ماكينات مختلفة يعمل عليها ثالثة عمال مختلفين. ترغب إدارة الشركة في معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي ينتجها العمال الثالثة تعتبر فروقا معنوية, وفي معرفة ما إذا كانت الفروق في متوسط عدد الوحدات المعيبة التي تنتجها الماكينات األربعة تعتبر فروقا معنوية. ولتحقيق هذه األغراض طلبت الشركة من العمال أن يقوم كل منهم بالعمل على كل ماكينة من هذه الماكينات لمدة أسبوع حيث تم تسجيل متوسط عدد الوحدات المعيبة. ويبين الجدول التالي هذه التجربة: العامل الماكينة 4 المجموع المجموع 9.6 والمطلوب: 5( إدخال البيانات السابقة في SPSS كثالثة متغيرات متوسط الوحدات المعيبة (defects) والعمال.(machies) والمكائن (labour) 6( هل تدل هذه البيانات على عدم وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيية للعمال الثالثة أداء 7( هل تدل هذه البيانات على وجود فروق معنوية في متوسط عدد الوحدات المعيبة للماكينات األربع 8( احفظ البيانات والنتائج. تمرين 8 افترض أن إحدى الشركات الصناعية قامت بتقسيم سوق مبيعاتها الى ثالث مناطق, ومندوبي مبيعاتها الى ثالث مجموعات عمريه. ترغب إدارة الشركة في معرفة ما إذا كان هناك اختالف معنوي في المبيعات في المناطق الثالث, وفي المجموعات العمريه الثالث. البيانات التالية تمثل المبيعات بآالف الرياالت لمدة أسبوعين. المجموعات العمريه المناطق C C C 6 R R R 3 إدخال البيانات في برنامج SPSS كثالث متغيرات, المبيعات والمناطق والمجموعات العمرية. اختبر الفرض القائل بعدم وجود فروق معنوية بين مبيعات المناطق هل هناك فرو قات معنوية بين حجم المبيعات للفئات العمرية المختلفة أحفظ البيانات والنتائج. والمطلوب: )5 )6 )7 )8 8

182 اختبار التجانس )التماثل( اختبارات مربع كاي Chi Square أ( تحديد فرض العدم والفرض البديل: H H 0 : : وجود تجانس )تماثل( ال يوجد تجانس )تماثل J j o j E E j j ب( حساب إحصائية االختبار: حيث : هي التكرارات المشاهدة هي التكرارات المتوقعة O E j j E j O J j O j E j = عدد التقسيمات )عدد الفصول مثال ( J ج( تحديد منطقتي القبول والرفض د( القرار. 8

183 تمرين ( ) : قامت إحدى الشركات بإنتاج منتج جديد ولترويج هذا المنتج قررت الشركة القيام بحملة إعالنية في جميع أنحاء البالد للتعاقد مع الوكالء المتوقعين للشركة لبيع المنتج. ولقد قسمت الشركة البالد إلى عشرة مناطق لها نفس إمكانية البيع وبالتالي فانه من المتوقع أن تحصل الشركة من هذه المناطق على عدد متساو من التعاقدات. البيانات التالية تمثل العدد الفعلي للتعاقدات التي حصلت عليها الشركة: المنطقة المجموع عدد التعاقدات والمطلوب: إدخال البيانات السابقة في. SPSS هل تدل هذه البيانات على تساوي استجابة المناطق من حيث عدد التعاقدات أحفظ البيانات والنتائج....3 أ( H H 0 : : ب( 0 J 00 O J E j المحسوبة.7 ج( تحديد منطقتي القبول والرفض : يوجد تماثل في عدد التعاقدات في المناطق المختلفة ال يوجد تماثل في عدد التعاقدات في المناطق المختلفة 9و

184 .% 5 د( القرار: نقبل فرض العادم القائال باأن هنااك تماثال باين المنااطق مان حياث عادد التعاقادات بمساتوى معنوية 84

185 6- االرتباط Correlatio أحىد مجىاالت اإلحصىاء االسىتداللي هىي دراسىة أو تحديىد العالقىة )إن وجىدت( بىين متغيىرين أو أكثر مثال العالقة بين االنفاق على اإلعالن وحجم المبيعات أو العالقة بين الدخل و المصىروفات. مثل هذه العالقات يتم تناوالها إحصائيا باستخدام طرق تحليل االرتباط و االنحدار. االرتباط هو أحد الطىرق اإلحصىائية التىي تسىتخدم لتحديىد وجىود أو عىدم وجىود عالقىة بىين عىدة متغيىرات. أمىا اإلنحىدارفهو طريقىة إحصىائية تسىتخدم لتحديىد طبيعىة تلىك العالقىة بىين المتغيىرات المتعددة, هل هي عالقة موجبة أو سالبة, عالقة خطية أم عالقة غير خطية. بمعنىي أن الهىدف من االرتباط واالنحدار هو اإلجابة عن األسئلة التالية: هل توجد عالقة بين متغيرين أو أكثر إذا كانت هنالك عالقة, ما هي قوة هذه العالقة ما نوع العالقة الموجودة ما هي النتيجة )اإلستدالل( الذي يمكن استخالصها من هذه العالقة شكل اإلنتشار: عند دراسة االرتباط واالنحدار يقوم الباحث بجمع بيانات عن عدة متغيرات, أقلها متغيرين, مثال قىد يرغىب الباحىث فىىي دراسىة العالقىة بىىين ميزانيىة اإلعىالن وحجىم المبيعىىات فىي مجىال تجىىارة الشماغ. في هذه الحالة يستطيع الباحث اختيار عينة عشوائية من الشركات التي تعمل فىي المجىال نفسة كما هو مبين أدناه: الشركة ميزانية اإلعالن حجم المبيعات المتغيران في هذه الدراسة يطلق عليهما المتغير المستقل و المتغير التابع. المتغير التىابع فىي هىذه الحالة هو "حجم المبيعات" و يرمز له بالرمز, y أما المتغير المستقل فهو " ميزانية اإلعالن " و يرمز له بالرمز. x يمكىن تمثيىل المتغيىرين المسىتقل والتىابع بيانيىا باسىتخدام شىكل االنتشىار. يسىتخدم شىكل االنتشىار إلعطاء فكرة عن وجود عالقة بين متغيرين وعن مقدار ونوع هذه العالقة, كما هىو موضىح فىي األشكال التالية: 85

186 عالقة طردية عالقة طردية تامة عالقة عكسية عالقة عكسية تامة عدم وجود عالقة قياس االرتباط:. معامل ارتباط بيرسون Pearso correlatio coefficiet يستخدم معامل بيرسون لقياس درجة االرتباط بين المتغيرات الكمية. يرمز لمعامل بيرسون بى r و يمكن حسابه باستخدام العالقة التالية: r x xy ( x)( y) x y y. معامل ارتباط سبيرمان يستخدم لحساب االرتباط للبيانات الوصفية الترتيبية )ordial( و أيضا يمكن استخدامه لحساب االرتباط للبيانات الكمية إذا كان التوزيع غير طبيعي, يرمز له بالرمز : r s 86

187 r s 6 ( d ) حيث: = d الفرق بين رتبة المشاهدة على المتغير x و المتغير y = عدد المشاهدات - ارتباط عكسي قوي ارتباط عكسي ضعيف - 0 r ارتباط طردي ضعيف 0.5 ارتباط طردي قوي x + x عالقة عكسية عالقة طردية y y x x ال يوجد ارتباط عالقة غير خطية y y 87

188 االرتباط بيانات كمية بيانات وصفية المستمرة متقطعة ترتيبية غير ترتيبية رتباط بيرسون رتباط بيرسون رتباط سبيرمان ال يمكن حلها باالرتباط شروط استخدام معامل االرتباط بيرسون: أزواج من القراءات. أن تكون القراءات متغيرات كمية. أن تتوزع توزيعا طبيعيا. العالقة خطية بين المتغيرين. التشتت على خط االرتباط متجانس. شروط استخدام معامل االرتباط سبيرمان )معامل ارتباط الرتب(:. أزواج من القراءات.. أن تكون القراءات متغيرات كمية أو وصفية ترتيبية. r معامل ارتباط بيرسون : x xy ( x)( y) x y y 88

189 r s 6 d i. i i y و x للقراءة معامل ارتباط سبيرمان : d i حيث هي الفرق بين ترتيب مثال ( ) : إحدى مؤسسات الدراسات التسويقية ترغب في بحث ما إذا كان هناك عالقة بين ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات في مجال تجارة الشماغ ولذلك قامت بجمع بيانات عن ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات من 0 شركات تعمل في هذا المجال والجدول اإلعالن )بماليين الرياالت( وحجم المبيعات )بماليين الرياالت(: التالي يبين ميزانية الشركة ميزانية اإلعالن حجم المبيعات والمطلوب: إدخال البيانات السابقة في. SPSS ما هو شكل العالقة بين المتغيرين من شكل االنتشار Scatter plot هل هناك عالقة بين المتغيرين وهل هي عالقة معنوية وما هو اتجاهها استخدم ارتباط بيرسون وسبيرمان أحفظ البيانات والنتائج. الحل المتغير المستقل = ميزانية اإلعالن= X المتغير التابع = حجم المبيعات= Y رسم شكل االنتشار باستخدام SPSS )حل الفقرة ( : Graphs Legacy Dialogs Scatter 89

190 Simple Defie Y ظلل اسم المتغير التابع "حجم المبيعات" ثم انقله إلى X ثم ظلل اسم المتغير المستقل "ميزانية اإلعالن" ثم انقله إلى ثم الضغط على Ok وعلية سيكون شكل االنتشار: 90

191 من خالل شكل االنتشار يظهر ان هناك عالقة طردية بين ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات. وللتأكد من وجود هذه العالقة فالبد من حساب معامل االرتباط للتعرف على قوة واتجاه العالقة: x 8 y 48 xy 4034 x y r 0*805 0*4034 8* *0754 (48) 0.97 هناك عالقة طردية قوية بين ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات. هل العالقة حقيقية في المجتمع )يمكن استخدام اختبار المعنوية(. H H 0 : 0 : 0 اختبار فرض حول معامل االرتباط: تحديد فرض العدم والبديل: ال يوجد ارتباط يوجد ارتباط.. حساب إحصائية االختبار: t 0 r r r r t 0.05, تحديد منطقتي القبول والرفض: حيث أن.0 05 فإن قيمة تي من الجدول تساوي: 9

192 . 4 القرار: نرفض الفرض الصفري ونقبل الفرض البديل القائل بوجود ارتباط بين ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات بمستوى معنوية.% 5 استخراج معامل ارتباط الفقرة 3(: يتم الضغط على: بيرسون وسبيرمان والتأكد من معنوية العالقة باستخدام SPSS )حل Aalyze Correlate Bivariate ثم نحصل على الصندوق التالي والذى يتم اختيار المتغيرات المراد عمل ارتباط لها وادخالها في خانه Variables ويتم اختيار معاملي ارتباط بيرسون وسبيرمان واختيار نوع االختبار طرف او طرفين. 9

193 ومن ثم نحصل على المخرجات التالية: Correlatios ads Sale ads Pearso Correlatio.97 ** Sig. (-tailed).000 N 0 0 sale Pearso Correlatio.97 ** Sig. (-tailed).000 N 0 0 **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). وهذا يعطي نتائج معامل ارتباط بيرسون حيث كانت قيمة تساوي 0.97 وهو القيمة نفسها التي حصلنا عليها باستخدام الحساب وأما بالنسبة لمعنوية ارتباط المتغيرين فان قيمة مستوى الداللة )قيمة (p-value أقل من مستوى المعنوية %5 وعليه فان ارتباط معنوي وحقيقي. 93

194 Correlatios ads Sale Spearma's rho ads Correlatio Coefficiet ** Sig. (-tailed)..00 N 0 0 sale Correlatio Coefficiet.875 **.000 Sig. (-tailed).00. N 0 0 **. Correlatio is sigificat at the 0.0 level (-tailed). ومن الجدول اعاله فإن معامل ارتباط سبيرمان يساوي ويظهر هذه االرتباط بان العالقة طردية قوية بين ميزانية االعالن وحجم المبيعات كما ان هذه العالقة معنوية حيث أن قيمة p-value أقل من قيمة مستوى المعنوية %5. تمرين 3( ) : حصل 6 طالب على التقديرات التالية في مادتي اإلحصاء والرياضيات : B A B C D C C C A B E D اإلحصاء الرياضيات والمطلوب: إدخال البيانات في برنامج.SPSS ما هو معامل االرتباط األنسب لهذه البيانات وقم قمته اختبر الفرض القائل بعدم وجود عالقة بين المتغيرين وما نوع العالقة أحفظ البيانات والنتائج. 6 6 الحل r s يوجد ارتباط طردي قوي بين تقادير الطالب في مادتي اإلحصاء و الرياضيات. هل العالقة معنوية 94

195 H H 0 : 0 : 0 ال يوجد ارتباط يوجد ارتباط t تحديد منطقتي القبول والرفض: t 0.005,4.776 t 0.005,4.776 معنوية القرار: نرفض الفرض الصفري ونقبل الفرض البديل القائل بأن االرتباط معنوي بين المتغيرين بمستوى.% 5 95

196 االنحدار الخطي البسيط Simple Lier Regressio عند دراسة العالقة بين متغيرين قد ال يكفى فقط تحديد درجة االرتباط بينهما سواء كان ذلك االرتباط موجبا أم سالبا. يفضل أن يعبر عن تلك العالقة في شكل معادلة رياضية محددة تلخص خصائص و سمات شكل االنتشار. يمكن استخدام مثل هذه المعادلة في التنبؤ بأحد المتغيرين من خالل المتغير اآلخر. يعرف هذا النوع من العالقات بالعالقات الدالية. بعض هذه العالقات خطية يمكن تمثيلها بخط مستقيم و بعضها غير خطية يمكن تمثيلها بمنحنى. يطلق على المتغير الذى يستخدم في عملية التنبؤ بالمتغير المستقل )x( و يعرف المتغير اآلخر الذى يتم التنبؤ به, بالمتغير التابع )y(. مثال لذلك ميزانية اإلعالن )متغير مستقل( و حجم المبيعات )متغير تابع(. يستطيع الباحث أن يحدد نوع العالقة من شكل االنتشار عما إذا كانت العالقة خطية أم ال و ذلك برسم خط تقريبي يتوسط معظم النقاط على شكل االنتشار يعرف بخط االنحدار. معادلة االنحدار البسيط يمكن التعبير عنها بالمعادلة التالية: y a bx e حيث: y a bx e = y قيمة المتغير التابع = x قيمة المتغير المستقل y( نقطة تقاطع خط االنحدار مع المحور الرأسي )محور = a = b معامل االنحدار أو ميل الخط االنحدار = e الفرق بين القيمة الفعلية للمتغير التابع و القيمة المتوقعة أو المقدرة a لتحديد معادلة االنحدار يجب تحديىد قيمىة كىل مىن a و b تمثىل b درجىة مىيالن خىط االنحىدار. إذا كانىت قيمىة b موجبىة )0<b( هىذا يعنىى وجىود عالقىة موجبىة بىين المتغيىرين. إذا كانىت قيمىة b سالبة )0>b( هذا يعنى وجىود عالقىة سىالبة بىين المتغيىرين. أمىا إذا كانىت 0=b فهىذا يعنىى عىدم وجود عالقة بين المتغيرين x و. y تمثل a نقطة تقىاطع خىط االنحىدار مىع محىور y و هىي تمثىل القيمة المتوقعة للمتغير التابع y عندما تكون x مساوية للصفر. 96

197 يمكن حساب معامالت خط االنحدار a و b باستخدام الحساب واختبار الداللة اإلحصىائية لنمىوذج االنحدار: b xy x y x x a y bx كما يمكن لإلجابة عن التساؤالت المتعلقة باالنحدار باستخدام مخرجات SPSS كما يلي: تستخدم القيمة االختبارية F ومستوى المعنوية المرتبط بهذه القيمىة لتحديىد صىالحية أو عىدم صالحية تمثيل العالقىة بىين المتغيىرين بدالىة خطيىة وذلىك فىي حالىة النمىوذج الخطىى. يكىون النموذج صالحا إذا كان مستوى المعنوية المرتبط بقيمة F أصغر من 0.05 معامىىل التحديىىد R لنمىىوذج االنحىىدار يوضىىح نسىىبة التبىىاين فىىي المتغيىىر التىىابع y التىىي يىىتم تفسيرها باستخدام نمىوذج االنحىدار و المتغيىر المسىتقل x. إذا كانىت قيمىة = R فىذلك يعنى أن نموذج االنحدار والمتغير x يفسران كىل التبىاين فىي المتغيىر التىابع. إذا كانىت 0= R فىذلك يعنىى أن نمىوذج االنحىدار لىم يىتمكن مىن تفسىير أي جىزء مىن التبىاين فىي المتغيىر التابع. اختبار الداللة اإلحصائية لمعامل االنحدار b: يتم اختبار الداللة اإلحصائية لمعامل االنحىدار b وفقىىا الختبىىار t و مسىىتوى المعنويىىة المىىرتبط بالقيمىىة االختباريىىة t الناتجىىة مىىن تحليىىل.SPSS فىي معظىم األحيىان يكىون معامىل االنحىدار b ذو داللىة إحصىائية إذا كىان مسىتوى المعنوية الناتج و المرتبط به أصغر من ( ) : مثال إحدى مؤسسات الدراسات التسويقية ترغب في بحث ما إذا كان هناك عالقة بين ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات في مجال تجارة الشماغ ومدى قدرتها على تقدير حجم المبيعات عند معرفتها لحجم اإلعالن, ولذلك قامت بجمع بيانات عن ميزانية اإلعالن وحجم المبيعات من 0 شركات تعمل في هذا المجال والجدول التالي يبين ميزانية اإلعالن )بماليين الرياالت( وحجم المبيعات )بماليين الرياالت(: الشركة ميزانية اإلعالن حجم المبيعات والمطلوب:. إدخال البيانات السابقة في SPSS وحل الفقرات التالية باستخدام الحساب والبرنامج. 97

198 تقدير معادلة خط االنحدار وتفسير الثوابت وما هو حجم المبيعات المتوقع لشركة ميزانية إعالنها 8 مليون. حساب الخطأ المعياري للتقدير وتفسيره. اختبار الفروض حول معامل االنحدار وتقدير فترة ثقة لها. أيجاد معامل التحديد وتفسيره هل معادلة االنحدار معنوية. أحفظ البيانات والنتائج. الحل حل الفقرة ) ) 0 b a y x تفسير : a :b 6.56 عندما تكون ميزانية اإلعالن صفر فإن حجم المبيعات سوف تكون 6.56 مليون. تفسير عند زيادة "ميزانية االعالن" بمقدار مليون فان "حجم المبيعات" سيزداد بمقدار 4.35 مليون. ما هو حجم المبيعات لشركة تصرف 8 مليون على االعالن y إذا كان حجم اإلعالن 8 مليون من المتوقع أن يكون حجم المبيعات 4.36 مليون لاير. لحل الفقرة السابقة ب :SPSS AalyzeRegressioLiear 98

199 ثم نحصل على الصندوق التالي: ثم يتم نقل المتغير حجم المبيعات إلى المتغير التابع ونقل المتغير ميزانية االعالن إلى المتغير المستقل. ومن ثم بالضغط على Ok نحصل على الجداول االتية: Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate.97 a a. Predictors: (Costat), ads 99